QUESTÃO 01
Dados os vetores x e a, obtenha um conjunto ortonormal de vetores Z=z^wed>= 1, z^wed>= 2, z^wed>= 3, z^wed>= 4 tal que o vetor z^wed>= 1 apresente a
mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a. Siga os passos definidos a seguir.
I. Obtenha o vetor z^wed>= 1.
II. Obtenha o vetor z^wed>= 2 via decomposição ortogonal de x sobre z^wed>= 1.
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à z^wed>= 1, z^wed>= 2.
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter z^wed>= 3, z^wed>= 4.
A distribuição dos vetores para cada aluno está disposta na TABELA I.
Tabela I:
x=(-3,4,3,4) a=(3,2,3 underline,-2)

Passo 1

Temos os vetores x=(-3,4,3,4) e a=(3,2,3,-2) em R^4. Nosso objetivo é obter um conjunto ortonormal Z=z^1,z^2,z^3,z^4 tal que z^1 tenha mesma direção e sentido de a. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Para obter z^1, normalizamos a: calculamos |a|=raiz3^2+2^2+3^2+(-2)^2=raiz26 e então
z^1 = a|a| = l(3raiz26,2raiz26,3raiz26,-2raiz26r)

Passo 3

No segundo vetor z^2, projetamos x sobre z^1 e subtraímos a projeção: projz^1(x)=(xcdot z^1)z^1. Calculando xcdot z^1=-9+8+9-8raiz26=0, concluímos que x já é ortogonal a a. Logo tilde z^2=x e, normalizando |x|=raiz(-3)^2+4^2+3^2+4^2=5raiz2, obtemos
z^2=x5raiz2=l(-35raiz2,45raiz2,35raiz2,45raiz2r)

Passo 4

Para achar o subespaço ortogonal a z^1,z^2, resolvemos as equações
3v1+2v2+3v3-2v4=0, -3v1+4v2+3v3+4v4=0,
obtendo a solução paramétrica
v = s(-8,3,0,-9)+t(-3,0,1,-3), s,tin R,
onde os dois vetores formam uma base do espaço ortogonal.

Passo 5

Finalmente, aplicamos Gram–Schmidt nessa base. Primeiro normalizamos u1=(-8,3,0,-9) cuja norma é raiz154, gerando
z^3=(-8,3,0,-9)raiz154
Depois retiramos a projeção de u2=(-3,0,1,-3) sobre z^3:
u2^perp = u2 - (u2cdot z^3),z^3,
que, após simplificar, equivale ao vetor w=(-54,-153,154,-3). Normalizando |w|=raiz50050, obtemos
z^4=(-54,-153,154,-3)raiz50050

Resposta

O conjunto ortonormal é
Z=l(3,2,3,-2)raiz26,;(-3,4,3,4)5raiz2,;(-8,3,0,-9)raiz154,;(-54,-153,154,-3)raiz50050r

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