Exercício 4.4 Instituir a equação da parábola de foco em (-2,-1), cuja corda focal mínima une os pontos (-2,2) e (-2,-4).
Resposta: y^2+2 y-6 x-20=0 ou y^2+2 y+6 x+4=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola com foco em (-2,-1) e corda focal mínima (latus rectum) unindo os pontos (-2,2) e (-2,-4). O conteúdo envolve a forma padrão de uma parábola com eixo horizontal e uso das relações entre vértice, foco e latus rectum.

Passo 2

Chamando o vértice de (h,k) e o parâmetro da parábola de p, temos foco (h+p,k) e extremidades do latus rectum (h+p, kpm2p).

Passo 3

Da condição foco (h+p,k)=(-2,-1) obtemos h+p=-2 e k=-1. A distância entre (-2,2) e (-2,-4) é 6, e como ela vale |4p|, segue |p|=1.5.

Passo 4

Caso p=1.5, temos h=-2-p=-3.5. A forma padrão é
(y-k)^2 = 4p(x-h)
ou seja
(y+1)^2 = 6(x+3.5)
Expandindo:
y^2+2y+1 = 6x+21
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y^2+2y-6x-20 = 0

Passo 5

Caso p=-1.5, temos h=-2-p=-0.5. A forma padrão é
(y+1)^2 = -6(x+0.5)
Expandindo:
y^2+2y+1 = -6x-3
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y^2+2y+6x+4 = 0

Passo 6

Concluímos que existem duas parábolas que satisfazem as condições, dadas pelas equações obtidas nos casos anteriores.

Resposta

y^2+2y-6x-20=0 ou y^2+2y+6x+4=0

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