Utilizando o método de Le Verrier encontre com todos os detalhes o polinômio característico da matriz A abaixo.
A=[cccccccccccccccccccccccc1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.529 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.848 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.929 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.372 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.640 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.768 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.781 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.372 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.929 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.372 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.929 & 0.929 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.372 & 0.372 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.529 & 0 & 0 & 0 & -0.929 & 0.929 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.484 & 0 & 0 & 0 & -0.372 & 0.372 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.640 & 0 & 0 & 0 & -0.929 & 0.929 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.768 & 0 & 0 & 0 & -0.372 & 0.372 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.781 & 0 & 0 & 0 & -0.929 & 0.929 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.625 & 0 & 0 & 0 & -0.372 & 0.372 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -0.929 & 0 & 0 & -0.929 & 0.929 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.372 & 0 & 0 & -0.372 & 0.372 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Le Verrier para achar o polinômio característico de uma matriz A de ordem 22. O conteúdo é o algoritmo recursivo de Le Verrier, que nos dá os coeficientes do polinômio
p(lambda)=lambda^22+c1,lambda^21+c2,lambda^20+cdots+c21,lambda+c22
e requermos os traços de A, A², …, A^{22}.

Passo 2

Em Le Verrier definimos provisoriamente b_k (para k=1,…,22) pelas fórmulas
b1 = -tr(A),
bk = -tfrac1kl(tr(A^k) + b1tr(A^k-1) + b2tr(A^k-2)+cdots+bk-1tr(A)r),
e então c_k = b_k para todo k. Precisamos, portanto, calcular tr(A^m) para m=1,2,dots,22 e aplicar a recursão.

Passo 3

O passo prático mais trabalhoso é o cálculo dos traços tr(A^m). Para cada m, monta-se A^m (ou melhor, multiplica-se A^(m−1) por A) e soma-se os elementos da diagonal. Em problemas reais de ordem tão alta, convém usar software (Mathematica, MATLAB, Python etc.) para obter numericamente esses traços.

Passo 4

Uma vez tabulados os valores tm=tr(A^m), aplicamos recursivamente
b1 = -t1,
b2 = -tfrac12l(t2 + b1 t1r),
b3 = -tfrac13l(t3 + b1 t2 + b2 t1r), dots, b22 = -tfrac122l(t22 + b1 t21 + cdots + b21 t1r)

Passo 5

Ao final, o polinômio característico é
p(lambda)=lambda^22+b1lambda^21+b2lambda^20+cdots+b21lambda+b22
Cada coeficiente bk sai diretamente da recursão acima.

Passo 6

Na prática, usando software para calcular rapidamente os traços e aplicar a recursão de Le Verrier, obtém-se todos os bk.

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=lambda^22+b1lambda^21+b2lambda^20+cdots+b21lambda+b22,
onde os coeficientes bk são dados pela fórmula de Le Verrier mostrada nos passos e dependem dos traços tm=tr(A^m) para m=1,2,dots,22. Com auxílio de software, obtemos numericamente esses valores e, em seguida, todos os bk.

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