Utilizando o método de Le Verrier encontre com todos os detalhes o polinômio característico da matriz A abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Le Verrier para achar o polinômio característico de uma matriz A de ordem 22. O conteúdo é o algoritmo recursivo de Le Verrier, que nos dá os coeficientes do polinômio
Em Le Verrier definimos provisoriamente b_k (para k=1,…,22) pelas fórmulas
b1 = -tr(A),
bk = -tfrac1kl(tr(A^k) + b1tr(A^k-1) + b2tr(A^k-2)+cdots+bk-1tr(A)r),
e então c_k = b_k para todo k. Precisamos, portanto, calcular tr(A^m) para m=1,2,dots,22 e aplicar a recursão.
Passo 3
O passo prático mais trabalhoso é o cálculo dos traços tr(A^m). Para cada m, monta-se A^m (ou melhor, multiplica-se A^(m−1) por A) e soma-se os elementos da diagonal. Em problemas reais de ordem tão alta, convém usar software (Mathematica, MATLAB, Python etc.) para obter numericamente esses traços.
Passo 4
Uma vez tabulados os valores tm=tr(A^m), aplicamos recursivamente
onde os coeficientes bk são dados pela fórmula de Le Verrier mostrada nos passos e dependem dos traços tm=tr(A^m) para m=1,2,dots,22. Com auxílio de software, obtemos numericamente esses valores e, em seguida, todos os bk.