Questão 01
Desenvolva o balanço de força em um elemento de volume genérico aplicado à movimentação de fluidos. Quais são as hipóteses aplicadas para que a Equação da Conservação da Quantidade de Movimento seja simplificada na forma das Equações de Navier-Stokes?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Desenvolver o balanço de força (conservação da quantidade de movimento) em um elemento de volume genérico para um fluido.
- Identificar as hipóteses necessárias para que essa equação se reduza à forma das equações de Navier–Stokes mostradas.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado / da fórmula apresentada):
- Duas formas da equação de quantidade de movimento estão mostradas:
- Há forças de superfície (pressão
e tensões viscosas ) e forças de corpo . - Precisamos explicar as hipóteses adotadas para passar da forma geral (com
) à forma com .
Passo 2
Escrevendo o balanço de quantidade de movimento no volume de controle (forma integral) e interpretando termos.
Considere um volume de controle arbitrário
com superfície
e vetor normal unitário exterior
. O balanço de quantidade de movimento (segunda lei de Newton aplicada ao fluido contido em
) na forma integral é:
Explicação dos termos (passo a passo):
-
é a quantidade de movimento total no volume. - O primeiro termo é a taxa de variação temporal dessa quantidade dentro do volume.
-
é o fluxo convectivo de quantidade de movimento através da superfície (quanto entra/ sai por escoamento). -
são as forças de corpo (gravidade). -
é a força resultante devido às tensões na superfície: é o tensor das tensões (stress tensor).
Passo 3
Passando da forma integral para a forma diferencial (usar teorema da divergência e RTT).
Aplicamos o teorema da divergência às integrais de superfície e usamos que o volume
é arbitrário; isso nos dá a forma diferencial local:
Observações:
-
é um tensor-contrato: componente é . Esse termo representa transporte convectivo (não-linear) de quantidade de movimento. -
representa a contribuição volumétrica das forças de superfície, já convertida para volume.
Passo 4
Decomposição do tensor de tensões e obtenção da forma mostrada no enunciado.
Separar o tensor de tensões em parte isotrópica (pressão) e parte deformacional (tensão viscosa):
onde
é a identidade e
é o tensor de tensões viscosas (parte deviator). Substituindo em
:
Logo a equação diferencial fica
Rearranjando os sinais (para comparar com o enunciado):
que é exatamente a primeira linha mostrada no enunciado.
Passo 5
Modelo constitutivo de fluido newtoniano e cálculo de
.
Para prosseguir precisamos de uma relação que ligue
às velocidades (constitutive law). Para um fluido newtoniano linearmente viscoso, o tensor deviator é:
onde:
-
é a viscosidade dinâmica (shear viscosity); -
é a segunda viscosidade (bulk viscosity); -
é o tensor de gradiente de velocidade com componentes .
Agora calcule
. Em componentes:
Reorganizando:
Hipóteses que simplificam isto:
- Se o fluido for incompressível, então
. Então o segundo termo some. - Se a viscosidade
for constante espacialmente, a operação é válida diretamente. - Sob a hipótese de Stokes (muitas vezes adotada)
, mas para incompressível esse termo multiplica e portanto desaparece de qualquer maneira.
Com
e
const., temos:
Substituindo na equação diferencial obtemos a forma apresentada no enunciado:
Passo 6
Passando para a forma convectiva (não conservativa) — material derivative — usando a equação da massa.
A identidade útil (em notação vetorial) é:
A equação de conservação de massa (continuidade) é:
Usando a continuidade, o segundo termo da identidade some e ficamos com
onde
é a derivada material (aceleração convectiva + local).
Portanto, sob as hipóteses que tornam
, a equação torna-se:
Esta é a forma usual das equações de Navier–Stokes para um fluido newtoniano, isentrópico em que
é constante e incompressível (ou densidade constante).
Passo 7
Lista detalhada e didática das hipóteses necessárias para simplificar a equação geral até a forma das Navier–Stokes usada no enunciado:
-
Hipótese de meio contínuo (continuum): as propriedades (velocidade, densidade, tensão) são campos bem definidos e diferenciáveis; não tratamos partículas discretas.
-
Forma de Cauchy do balanço (sem torque interno): o stress tensor
descreve todas as forças de superfície por unidade de área. -
Lei constitutiva de fluido newtoniano linear:Ou seja, tensão viscosa proporcional ao tensor de taxa de deformação.
-
Fluido isotrópico e sem tensões de corpo além de
(fora forças de volume como gravidade, não há couples, forças eletromagnéticas, tensão superficial na interface etc.). -
Viscosidade dinâmica
constante (ou pelo menos espacialmente homogênea) — isto permite tirar para fora de operadores diferenciais e obter . -
Incompressibilidade (ou densidade constante) para simplificar
-termos e usar . Com isso: -
reduz a se const. -
quando e const.
-
-
Uso da hipótese de Stokes (opcional quando compressibilidade é desprezada):
— muitas formulações simplesmente assumem isso para fechar o modelo, mas para o caso incompressível o efeito é nulo. -
Regime laminar / sem tensões turbulentas adicionais: não estamos incluindo termos de Reynolds ou modelos de turbulência. Se há turbulência, precisaríamos de modelagem adicional (RANS, LES…).
-
Ausência de variação térmica que obrigue viscosidade dependente de temperatura ou acoplamentos densidade-temperatura; assumimos propriedades materiais constantes.
Passo 8
Resumo final das formas da equação que derivamos (duas formas úteis):
- Forma conservativa (mostrada no enunciado):
- Forma convectiva (com derivada material), para fluido newtoniano,
const. e const.:
Força-te a lembrar: para chegar ao
precisas explicitamente da hipótese de fluido newtoniano linear, viscosidade constante e
. Essas são as hipóteses-chave que reduzem o termo
à forma laplaciana simples.
Resposta
Hipóteses para obter essa forma: meio contínuo; hipótese de Cauchy para o tensor de tensões; fluido newtoniano com lei linear
; viscosidade
constante; incompressibilidade ou densidade constante (
) (ou adoção da hipótese de Stokes para
); ausência de termos adicionais (turbulência/modelos de tensão de Reynolds, forças eletromagnéticas, tensão superficial, variações térmicas que alterem
).