Questão 01

Desenvolva o balanço de força em um elemento de volume genérico aplicado à movimentação de fluidos. Quais são as hipóteses aplicadas para que a Equação da Conservação da Quantidade de Movimento seja simplificada na forma das Equações de Navier-Stokes?
\begin{aligned} & \frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t}=-\nabla \cdot(\rho \vec{v} \vec{v})-\nabla \cdot(\underset{\sim}{\tau})-\nabla P+\rho \vec{g} \\\ & \frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t}=-\nabla \cdot(\rho \vec{v} \vec{v})+\mu \nabla^{2} \vec{v}-\nabla P+\rho \vec{g} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Desenvolver o balanço de força (conservação da quantidade de movimento) em um elemento de volume genérico para um fluido.
  • Identificar as hipóteses necessárias para que essa equação se reduza à forma das equações de Navier–Stokes mostradas.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado / da fórmula apresentada):
  • Duas formas da equação de quantidade de movimento estão mostradas: \frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t}=-\nabla \cdot(\rho \vec{v} \vec{v})-\nabla \cdot(\underset{\sim}{\tau})-\nabla P+\rho \vec{g}
\frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t}=-\nabla \cdot(\rho \vec{v} \vec{v})+\mu \nabla^{2} \vec{v}-\nabla P+\rho \vec{g}
  • Há forças de superfície (pressão P e tensões viscosas \underset{\sim}{\tau}) e forças de corpo \rho\vec{g}.
  • Precisamos explicar as hipóteses adotadas para passar da forma geral (com \underset{\sim}{\tau}) à forma com \mu\nabla^2\vec{v}.

Passo 2

Escrevendo o balanço de quantidade de movimento no volume de controle (forma integral) e interpretando termos.
Considere um volume de controle arbitrário V com superfície \partial V e vetor normal unitário exterior \vec{n}. O balanço de quantidade de movimento (segunda lei de Newton aplicada ao fluido contido em V) na forma integral é:
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\vec{v}\,dV + \int_{\partial V}\rho\vec{v}\,(\vec{v}\cdot\vec{n})\,dA = \int_{V}\rho\vec{g}\,dV + \int_{\partial V}\vec{\sigma}\cdot\vec{n}\,dA.
Explicação dos termos (passo a passo):
  • \int_{V}\rho\vec{v}\,dV é a quantidade de movimento total no volume.
  • O primeiro termo é a taxa de variação temporal dessa quantidade dentro do volume.
  • \int_{\partial V}\rho\vec{v}\,(\vec{v}\cdot\vec{n})\,dA é o fluxo convectivo de quantidade de movimento através da superfície (quanto entra/ sai por escoamento).
  • \int_{V}\rho\vec{g}\,dV são as forças de corpo (gravidade).
  • \int_{\partial V}\vec{\sigma}\cdot\vec{n}\,dA é a força resultante devido às tensões na superfície: \vec{\sigma} é o tensor das tensões (stress tensor).

Passo 3

Passando da forma integral para a forma diferencial (usar teorema da divergência e RTT).
Aplicamos o teorema da divergência às integrais de superfície e usamos que o volume V é arbitrário; isso nos dá a forma diferencial local:
\frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) = \rho\vec{g} + \nabla\cdot\vec{\sigma}.
Observações:
  • \nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) é um tensor-contrato: componente i é \partial_j(\rho v_i v_j). Esse termo representa transporte convectivo (não-linear) de quantidade de movimento.
  • \nabla\cdot\vec{\sigma} representa a contribuição volumétrica das forças de superfície, já convertida para volume.

Passo 4

Decomposição do tensor de tensões e obtenção da forma mostrada no enunciado.
Separar o tensor de tensões em parte isotrópica (pressão) e parte deformacional (tensão viscosa):
\vec{\sigma} = -P\mathbf{I} + \underset{\sim}{\tau},
onde \mathbf{I} é a identidade e \underset{\sim}{\tau} é o tensor de tensões viscosas (parte deviator). Substituindo em \nabla\cdot\vec{\sigma}:
\nabla\cdot\vec{\sigma} = -\nabla P + \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau}.
Logo a equação diferencial fica
\frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) = -\nabla P + \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau} + \rho\vec{g}.
Rearranjando os sinais (para comparar com o enunciado):
\frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t} = -\nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) - \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau} - \nabla P + \rho\vec{g},
que é exatamente a primeira linha mostrada no enunciado.

Passo 5

Modelo constitutivo de fluido newtoniano e cálculo de \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau}.
Para prosseguir precisamos de uma relação que ligue \underset{\sim}{\tau} às velocidades (constitutive law). Para um fluido newtoniano linearmente viscoso, o tensor deviator é:
\underset{\sim}{\tau} = \mu\left(\nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T}\right) + \lambda\,(\nabla\cdot\vec{v})\,\mathbf{I},
onde:
  • \mu é a viscosidade dinâmica (shear viscosity);
  • \lambda é a segunda viscosidade (bulk viscosity);
  • \nabla\vec{v} é o tensor de gradiente de velocidade com componentes (\nabla\vec{v})_{ij}=\partial v_i/\partial x_j.
Agora calcule \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau}. Em componentes:
(\nabla\cdot\underset{\sim}{\tau})_i = \partial_j \tau_{ij} = \mu\,\partial_j\left(\partial_j v_i + \partial_i v_j\right) + \lambda\,\partial_i(\partial_k v_k).
Reorganizando:
(\nabla\cdot\underset{\sim}{\tau})_i = \mu\,\nabla^2 v_i + (\mu+\lambda)\,\partial_i(\nabla\cdot\vec{v}).
Hipóteses que simplificam isto:
  • Se o fluido for incompressível, então \nabla\cdot\vec{v}=0. Então o segundo termo some.
  • Se a viscosidade \mu for constante espacialmente, a operação \mu\nabla^2\vec{v} é válida diretamente.
  • Sob a hipótese de Stokes (muitas vezes adotada) \lambda = -\tfrac{2}{3}\mu, mas para incompressível esse termo multiplica \nabla\cdot\vec{v} e portanto desaparece de qualquer maneira.
Com \nabla\cdot\vec{v}=0 e \mu= const., temos:
\nabla\cdot\underset{\sim}{\tau} = \mu\nabla^2\vec{v}.
Substituindo na equação diferencial obtemos a forma apresentada no enunciado:
\frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t} = -\nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) + \mu\nabla^2\vec{v} - \nabla P + \rho\vec{g}.

Passo 6

Passando para a forma convectiva (não conservativa) — material derivative — usando a equação da massa.
A identidade útil (em notação vetorial) é:
\frac{\partial(\rho\vec{v})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) = \rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \vec{v}\cdot\nabla\vec{v}\right) + \vec{v}\left(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec{v})\right).
A equação de conservação de massa (continuidade) é:
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}) = 0.
Usando a continuidade, o segundo termo da identidade some e ficamos com
\frac{\partial(\rho\vec{v})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) = \rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \vec{v}\cdot\nabla\vec{v}\right) = \rho\frac{D\vec{v}}{Dt},
onde \displaystyle \frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla é a derivada material (aceleração convectiva + local).
Portanto, sob as hipóteses que tornam \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau}=\mu\nabla^2\vec{v}, a equação torna-se:
\rho\frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla P + \mu\nabla^2\vec{v} + \rho\vec{g}.
Esta é a forma usual das equações de Navier–Stokes para um fluido newtoniano, isentrópico em que \mu é constante e incompressível (ou densidade constante).

Passo 7

Lista detalhada e didática das hipóteses necessárias para simplificar a equação geral até a forma das Navier–Stokes usada no enunciado:
  1. Hipótese de meio contínuo (continuum): as propriedades (velocidade, densidade, tensão) são campos bem definidos e diferenciáveis; não tratamos partículas discretas.
  2. Forma de Cauchy do balanço (sem torque interno): o stress tensor \vec{\sigma} descreve todas as forças de superfície por unidade de área.
  3. Lei constitutiva de fluido newtoniano linear:
    \underset{\sim}{\tau} = \mu\left(\nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^T\right) + \lambda(\nabla\cdot\vec{v})\mathbf{I}.
    Ou seja, tensão viscosa proporcional ao tensor de taxa de deformação.
  4. Fluido isotrópico e sem tensões de corpo além de \rho\vec{g} (fora forças de volume como gravidade, não há couples, forças eletromagnéticas, tensão superficial na interface etc.).
  5. Viscosidade dinâmica \mu constante (ou pelo menos espacialmente homogênea) — isto permite tirar \mu para fora de operadores diferenciais e obter \mu\nabla^2\vec{v}.
  6. Incompressibilidade (ou densidade constante) para simplificar \lambda-termos e usar \nabla\cdot\vec{v}=0. Com isso:
    • \partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\vec{v})=0 reduz a \nabla\cdot\vec{v}=0 se \rho= const.
    • \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau}=\mu\nabla^2\vec{v} quando \nabla\cdot\vec{v}=0 e \mu= const.
  7. Uso da hipótese de Stokes (opcional quando compressibilidade é desprezada): \lambda = -\tfrac{2}{3}\mu — muitas formulações simplesmente assumem isso para fechar o modelo, mas para o caso incompressível o efeito é nulo.
  8. Regime laminar / sem tensões turbulentas adicionais: não estamos incluindo termos de Reynolds ou modelos de turbulência. Se há turbulência, precisaríamos de modelagem adicional (RANS, LES…).
  9. Ausência de variação térmica que obrigue viscosidade dependente de temperatura ou acoplamentos densidade-temperatura; assumimos propriedades materiais constantes.

Passo 8

Resumo final das formas da equação que derivamos (duas formas úteis):
  • Forma conservativa (mostrada no enunciado):
\frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t} = -\nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v}) + \mu\nabla^2\vec{v} - \nabla P + \rho\vec{g}.
  • Forma convectiva (com derivada material), para fluido newtoniano, \mu= const. e \rho= const.:
\rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \vec{v}\cdot\nabla\vec{v}\right) = -\nabla P + \mu\nabla^2\vec{v} + \rho\vec{g}.
Força-te a lembrar: para chegar ao \mu\nabla^2\vec{v} precisas explicitamente da hipótese de fluido newtoniano linear, viscosidade constante e \nabla\cdot\vec{v}=0. Essas são as hipóteses-chave que reduzem o termo \nabla\cdot\underset{\sim}{\tau} à forma laplaciana simples.

Resposta

\frac{\partial(\rho \vec{v})}{\partial t}=-\nabla\cdot(\rho\vec{v}\vec{v})+\mu\nabla^{2}\vec{v}-\nabla P+\rho\vec{g}
Hipóteses para obter essa forma: meio contínuo; hipótese de Cauchy para o tensor de tensões; fluido newtoniano com lei linear \underset{\sim}{\tau}=\mu(\nabla\vec{v}+(\nabla\vec{v})^{T})+\lambda(\nabla\cdot\vec{v})\mathbf{I}; viscosidade \mu constante; incompressibilidade ou densidade constante ( \nabla\cdot\vec{v}=0) (ou adoção da hipótese de Stokes para \lambda); ausência de termos adicionais (turbulência/modelos de tensão de Reynolds, forças eletromagnéticas, tensão superficial, variações térmicas que alterem \mu).

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