Questão 01 - Para a execução do experimento queda livre, a resistência do ar foi desconsiderada. Se fosse considerado a resistência do ar, como ficaria a função horária para a velocidade do projétil considerando que a resistência do ar é dada por
. Desta forma, estime a velocidade terminal da esfera.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) obter a função horária da velocidade de um projétil em queda livre quando consideramos a resistência do ar proporcional à velocidade, dada por
; (2) estimar a velocidade terminal da esfera.
Informações e hipóteses dadas / que vamos usar (tudo listado para não nos perder):
Informações e hipóteses dadas / que vamos usar (tudo listado para não nos perder):
- A força de arrasto é linear em
: , com constante. - A gravidade fornece uma força
apontando para baixo, com . - Estamos tratando de queda livre vertical; vamos tomar para a resolução um eixo vertical com sentido para baixo positivo (isso facilita os sinais).
- Massa da esfera:
(símbolo genérico, pois o enunciado não deu valor numérico). - Condição inicial de velocidade genérica:
. (Se quiseres, mais adiante usamos .)
Não vou resolver ainda — só listei o que é pedido e as informações disponíveis.
Passo 2
Escrever a equação do movimento (segunda lei de Newton) no eixo vertical com a convenção “para baixo positivo”.
As forças na direção vertical são: peso para baixo e arrasto para cima (pois é
e
para baixo), então a soma é
. Aplicando
obtemos a equação diferencial escalar:
As forças na direção vertical são: peso para baixo
Aqui cada símbolo significa:
massa da esfera,
velocidade vertical (positiva para baixo),
coeficiente de arrasto linear,
aceleração da gravidade e
tempo.
Passo 3
Colocar a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem e identificar os coeficientes:
Dividindo por ,
Dividindo por
Isto é uma equação linear do tipo
com
constante e
constante. Para resolver usamos fator integrante (método padrão para EDO lineares).
Passo 4
Resolver a EDO pelo fator integrante passo a passo (sem pular contas):
O fator integrante é
O fator integrante é
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é derivada do produto
, logo
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Aplicamos a condição inicial
para achar
:
Portanto a solução geral é
Se a queda começa do repouso (
), a forma mais usada é
Passo 5
Interpretação física e velocidade terminal:
A velocidade terminal é o limite quando
. Como o exponencial decai, temos
A velocidade terminal
Física simples: no regime estacionário a aceleração é zero, então
. Isso bate com a solução analítica.
aumenta com
(objetos mais pesados descem mais rápido) e diminui se o coeficiente
aumenta (mais arrasto → velocidade terminal menor).
Passo 6
Como estimar numericamente
para uma esfera? Explico uma forma prática e dou um exemplo ilustrativo.
- Se o arrasto for realmente linear (regime de baixíssimo número de Reynolds, fluxo laminar ao redor da esfera), o coeficiente
pode ser obtido pela lei de Stokes:
onde
é a viscosidade dinâmica do fluido (para o ar
) e
é o raio da esfera. Então
- Para estimar
de uma esfera homogênea usamos , com densidade do material da esfera. Substituindo,
Observação importante (pra não cair em armadilha): essa dedução com Stokes vale somente se o número de Reynolds
for muito menor que
. Para esferas macroscópicas caindo no ar normal, o arrasto costuma ser quadrático em
e então o modelo linear não serve; nesse caso a velocidade terminal difere da expressão acima. Sempre cheque o regime.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (para ver ordens de grandeza e checar a validade de Stokes):
Tomemos uma esfera muito pequena, (10 micrômetros), densidade típica
(ex.: partícula sólida), e
.
Calcular massa:
Tomemos uma esfera muito pequena,
Calcular massa:
Calcular
por Stokes:
Velocidade terminal:
Verificação do regime (número de Reynolds, com
):
logo Stokes é consistente e o valor calculado é razoável.
Comentário motivador: se tentasses esse cálculo com uma esfera grande (centímetros) o mesmo procedimento daria vitesse terminal absurdamente grande porque Stokes não vale — então aí precisamos do arrasto quadrático e outro método. Mas para micropartículas este resultado é útil.
Comentário motivador: se tentasses esse cálculo com uma esfera grande (centímetros) o mesmo procedimento daria vitesse terminal absurdamente grande porque Stokes não vale — então aí precisamos do arrasto quadrático e outro método. Mas para micropartículas este resultado é útil.