Questão 01 - Para a execução do experimento queda livre, a resistência do ar foi desconsiderada. Se fosse considerado a resistência do ar, como ficaria a função horária para a velocidade do projétil considerando que a resistência do ar é dada por \vec{F}=-b \vec{v}. Desta forma, estime a velocidade terminal da esfera.
\vec{F}=-l \vec{V}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter a função horária da velocidade de um projétil em queda livre quando consideramos a resistência do ar proporcional à velocidade, dada por \vec{F}=-b\vec{v}; (2) estimar a velocidade terminal da esfera.
Informações e hipóteses dadas / que vamos usar (tudo listado para não nos perder):
  • A força de arrasto é linear em \vec{v}: \vec{F}_{\text{arrasto}}=-b\vec{v}, com b>0 constante.
  • A gravidade fornece uma força \vec{F}_g=m\vec{g} apontando para baixo, com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Estamos tratando de queda livre vertical; vamos tomar para a resolução um eixo vertical com sentido para baixo positivo (isso facilita os sinais).
  • Massa da esfera: m (símbolo genérico, pois o enunciado não deu valor numérico).
  • Condição inicial de velocidade genérica: v(0)=v_0. (Se quiseres, mais adiante usamos v_0=0.)
    Não vou resolver ainda — só listei o que é pedido e as informações disponíveis.

Passo 2

Escrever a equação do movimento (segunda lei de Newton) no eixo vertical com a convenção “para baixo positivo”.
As forças na direção vertical são: peso para baixo (+mg) e arrasto para cima (pois é -b v e v>0 para baixo), então a soma é mg - b v. Aplicando \sum F = m a = m \dfrac{dv}{dt} obtemos a equação diferencial escalar:
m\frac{dv}{dt} = mg - b v.
Aqui cada símbolo significa: m massa da esfera, v(t) velocidade vertical (positiva para baixo), b coeficiente de arrasto linear, g aceleração da gravidade e t tempo.

Passo 3

Colocar a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem e identificar os coeficientes:
Dividindo por m,
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m} v = g.
Isto é uma equação linear do tipo \dfrac{dv}{dt}+P(t)\,v=Q(t) com P(t)=\dfrac{b}{m} constante e Q(t)=g constante. Para resolver usamos fator integrante (método padrão para EDO lineares).

Passo 4

Resolver a EDO pelo fator integrante passo a passo (sem pular contas):
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}=e^{\int \frac{b}{m}\,dt}=e^{(b/m)t}.
Multiplicamos a equação por \mu(t):
e^{(b/m)t}\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m} e^{(b/m)t} v = g e^{(b/m)t}.
O lado esquerdo é derivada do produto v e^{(b/m)t}, logo
\frac{d}{dt}\!\left(v e^{(b/m)t}\right) = g e^{(b/m)t}.
Integramos em t:
v e^{(b/m)t} = g\int e^{(b/m)t}\,dt + C = g\left(\frac{m}{b}\right)e^{(b/m)t} + C,
onde C é constante de integração. Agora isolamos v:
v(t) = \frac{m g}{b} + C e^{-(b/m)t}.
Aplicamos a condição inicial v(0)=v_0 para achar C:
v_0 = \frac{m g}{b} + C \quad\Rightarrow\quad C = v_0 - \frac{m g}{b}.
Portanto a solução geral é
\boxed{\,v(t)=\frac{m g}{b} +\left(v_0-\frac{m g}{b}\right)e^{-(b/m)t}\, }.
Se a queda começa do repouso ( v_0=0), a forma mais usada é
\boxed{\,v(t)=\frac{m g}{b}\left(1-e^{-(b/m)t}\right)\, }.

Passo 5

Interpretação física e velocidade terminal:
A velocidade terminal v_T é o limite quando t\to\infty. Como o exponencial decai, temos
v_T=\lim_{t\to\infty} v(t)=\frac{m g}{b}.
Física simples: no regime estacionário a aceleração é zero, então mg-bv_T=0\Rightarrow v_T=mg/b. Isso bate com a solução analítica. v_T aumenta com m (objetos mais pesados descem mais rápido) e diminui se o coeficiente b aumenta (mais arrasto → velocidade terminal menor).

Passo 6

Como estimar numericamente v_T para uma esfera? Explico uma forma prática e dou um exemplo ilustrativo.
  • Se o arrasto for realmente linear (regime de baixíssimo número de Reynolds, fluxo laminar ao redor da esfera), o coeficiente b pode ser obtido pela lei de Stokes:
b = 6\pi \eta r,
onde \eta é a viscosidade dinâmica do fluido (para o ar \eta\approx 1{,}8\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}) e r é o raio da esfera. Então
v_T=\frac{m g}{6\pi \eta r}.
  • Para estimar m de uma esfera homogênea usamos m=\rho \dfrac{4}{3}\pi r^3, com \rho densidade do material da esfera. Substituindo,
v_T=\frac{\left(\rho \dfrac{4}{3}\pi r^3\right) g}{6\pi \eta r} =\frac{2}{9}\frac{\rho g r^2}{\eta}.
Observação importante (pra não cair em armadilha): essa dedução com Stokes vale somente se o número de Reynolds \mathrm{Re} = \dfrac{\rho_{\text{ar}} v_T (2r)}{\eta} for muito menor que 1. Para esferas macroscópicas caindo no ar normal, o arrasto costuma ser quadrático em v e então o modelo linear não serve; nesse caso a velocidade terminal difere da expressão acima. Sempre cheque o regime.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para ver ordens de grandeza e checar a validade de Stokes):
Tomemos uma esfera muito pequena, r=1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m} (10 micrômetros), densidade típica \rho=2500\\ \mathrm{kg/m^3} (ex.: partícula sólida), e \eta=1{,}8\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Calcular massa:
m=\rho\frac{4}{3}\pi r^3 =\;2500\cdot\frac{4}{3}\pi(1{,}0\times 10^{-5})^3 \approx 1{,}047\times 10^{-11}\\ \mathrm{kg}.
Calcular b por Stokes:
b=6\pi\eta r \approx 6\pi(1{,}8\times 10^{-5})(1{,}0\times 10^{-5}) \approx 3{,}393\times 10^{-9}\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Velocidade terminal:
v_T=\frac{m g}{b}\approx \frac{1{,}047\times 10^{-11}\cdot 9{,}81}{3{,}393\times 10^{-9}} \approx 0{,}0303\\ \mathrm{m/s}.
Verificação do regime (número de Reynolds, com \rho_{\text{ar}}\approx 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}):
\mathrm{Re}\approx\frac{\rho_{\text{ar}} v_T (2r)}{\eta} \approx\frac{1{,}2\cdot 0{,}0303\cdot 2\times 10^{-5}}{1{,}8\times 10^{-5}} \approx 0{,}04 \ll 1,
logo Stokes é consistente e o valor calculado é razoável.
Comentário motivador: se tentasses esse cálculo com uma esfera grande (centímetros) o mesmo procedimento daria vitesse terminal absurdamente grande porque Stokes não vale — então aí precisamos do arrasto quadrático e outro método. Mas para micropartículas este resultado é útil.

Resposta

v(t)=\dfrac{m g}{b}+\left(v_{0}-\dfrac{m g}{b}\right)e^{-(b/m)t}\newline
v_T=\dfrac{m g}{b} (ex.: para r=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}, \rho=2500\\ \mathrm{kg/m^3}, \eta=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} obtém-se v_T\approx 0{,}0303\\ \mathrm{m/s}).

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