A posição de uma partícula é dada pela equação
onde
é medido em segundos e
, em metros.
(a) Encontre a função horária da velocidade.
b) Qual a velocidade em
?
c) Quando a partícula está em repouso?
d) Encontre a função horária da aceleração .
e)Qual a aceleração em
?
(a) Encontre a função horária da velocidade.
b) Qual a velocidade em
c) Quando a partícula está em repouso?
d) Encontre a função horária da aceleração .
e)Qual a aceleração em
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:
- A posição da partícula é dada por
, com em segundos e em metros.
O enunciado faz as seguintes perguntas:
(a) Encontre a função horária da velocidade.
(b) Qual a velocidade em ?
(c) Quando a partícula está em repouso?
(d) Encontre a função horária da aceleração.
(e) Qual a aceleração em ?
(a) Encontre a função horária da velocidade.
(b) Qual a velocidade em
(c) Quando a partícula está em repouso?
(d) Encontre a função horária da aceleração.
(e) Qual a aceleração em
Informações relevantes fornecidas:
- Função posição
. - Unidades:
em segundos ( ), em metros ( ). - Precisamos usar derivadas (taxa de variação) para obter velocidade e aceleração a partir de
.
Passo 2
Conceito e cálculo da velocidade (resposta de (a)):
- Conceito rápido: a velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo, isto é . Derivar significa calcular a taxa de variação instantânea de quando muda. - Regra usada (regra do poder): para
, . A derivada é linear, então podemos derivar termo a termo.
Aplicando termo a termo em
:
Calcular cada derivada:
Substituindo:
Simplificando os coeficientes:
Unidade:
.
Passo 3
Avaliar a velocidade em
(resposta de (b)):
- Basta substituir
em .
Calcule passo a passo:
Portanto
. (O sinal negativo indica movimento no sentido negativo do eixo
naquele instante.)
Passo 4
Determinar quando a partícula está em repouso (resposta de (c)):
- “Repouso” significa velocidade zero: resolver
.
Equação a resolver:
Dividimos ambos os lados por
para simplificar:
Esta é uma quadrática que pode ser fatorada:
Portanto as raízes são
Como
representa tempo (normalmente
), ambas as soluções são fisicamente válidas. Logo a partícula está em repouso em
e em
.
Passo 5
Conceito e cálculo da aceleração (resposta de (d)):
- Conceito rápido: a aceleração instantânea
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou segunda derivada da posição, isto é . - Vamos derivar
termo a termo usando a regra do poder.
Derivando:
Logo:
Unidade:
.
Passo 6
Avaliar a aceleração em
(resposta de (e)):
- Substituir
em .
Calcule:
Portanto
. (A aceleração positiva indica que a velocidade tende a aumentar no sentido positivo do eixo
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
e
(d)
(e)