A posição de uma partícula é dada pela equação x(t)=t^{3}-6 t^{2}+9 t onde t é medido em segundos e x, em metros.
(a) Encontre a função horária da velocidade.
b) Qual a velocidade em \mathrm{t}=2 \mathrm{~s} ?
c) Quando a partícula está em repouso?
d) Encontre a função horária da aceleração .
e)Qual a aceleração em t=4 s ?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • A posição da partícula é dada por \,x(t)=t^{3}-6t^{2}+9t\,, com t em segundos e x em metros.
O enunciado faz as seguintes perguntas:
(a) Encontre a função horária da velocidade.
(b) Qual a velocidade em \,t=2\\ \text{s}\,?
(c) Quando a partícula está em repouso?
(d) Encontre a função horária da aceleração.
(e) Qual a aceleração em \,t=4\\ \text{s}\,?
Informações relevantes fornecidas:
  • Função posição \,x(t)=t^{3}-6t^{2}+9t\,.
  • Unidades: t em segundos ( \text{s}), x em metros ( \text{m}).
  • Precisamos usar derivadas (taxa de variação) para obter velocidade e aceleração a partir de x(t).

Passo 2

Conceito e cálculo da velocidade (resposta de (a)):
  • Conceito rápido: a velocidade instantânea \,v(t)\, é a derivada da posição em relação ao tempo, isto é \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}\,. Derivar significa calcular a taxa de variação instantânea de x quando t muda.
  • Regra usada (regra do poder): para \,t^n, \dfrac{d}{dt}t^n = n\,t^{\,n-1}. A derivada é linear, então podemos derivar termo a termo.
Aplicando termo a termo em \,x(t)=t^{3}-6t^{2}+9t\,:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr) - 6\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr) + 9\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr).
Calcular cada derivada:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1.
Substituindo:
v(t)=3t^{2}-6\cdot 2t + 9\cdot 1.
Simplificando os coeficientes:
v(t)=3t^{2}-12t+9.
Unidade: \text{m/s}.

Passo 3

Avaliar a velocidade em \,t=2\\ \text{s} (resposta de (b)):
  • Basta substituir t=2 em \,v(t)=3t^{2}-12t+9\,.
Calcule passo a passo:
v(2)=3\cdot(2)^{2}-12\cdot(2)+9.
v(2)=3\cdot 4 - 24 + 9 = 12 - 24 + 9.
v(2)=-3.
Portanto \,v(2)=-3\\ \text{m/s}. (O sinal negativo indica movimento no sentido negativo do eixo x naquele instante.)

Passo 4

Determinar quando a partícula está em repouso (resposta de (c)):
  • “Repouso” significa velocidade zero: resolver \,v(t)=0\,.
Equação a resolver:
3t^{2}-12t+9=0.
Dividimos ambos os lados por 3 para simplificar:
t^{2}-4t+3=0.
Esta é uma quadrática que pode ser fatorada:
t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3).
Portanto as raízes são
t=1\quad\text{ou}\quad t=3.
Como t representa tempo (normalmente \,t\ge 0\,), ambas as soluções são fisicamente válidas. Logo a partícula está em repouso em \,t=1\\ \text{s} e em \,t=3\\ \text{s}.

Passo 5

Conceito e cálculo da aceleração (resposta de (d)):
  • Conceito rápido: a aceleração instantânea \,a(t)\, é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou segunda derivada da posição, isto é \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\,.
  • Vamos derivar v(t)=3t^{2}-12t+9 termo a termo usando a regra do poder.
Derivando:
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(12t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(9\bigr).
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot 2t=6t,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(12t\bigr)=12,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(9\bigr)=0.
Logo:
a(t)=6t-12.
Unidade: \text{m/s}^{2}.

Passo 6

Avaliar a aceleração em \,t=4\\ \text{s} (resposta de (e)):
  • Substituir t=4 em \,a(t)=6t-12\,.
Calcule:
a(4)=6\cdot 4 - 12 = 24 - 12 = 12.
Portanto \,a(4)=12\\ \text{m/s}^{2}. (A aceleração positiva indica que a velocidade tende a aumentar no sentido positivo do eixo x.)

Resposta

(a) \;v(t)=3t^{2}-12t+9
(b) \;v(2)=-3\\ \text{m/s}
(c) \;t=1\\ \text{s} e \;t=3\\ \text{s}
(d) \;a(t)=6t-12
(e) \;a(4)=12\\ \text{m/s}^{2}

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