Um pacote de 500 g é lançado verticalmente para cima a partir do solo. Considere g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Qual a energia potencial do pacote quando atinge uma altura máxima de 60 m ?
b) Ao cair, qual será a velocidade do pacote ao tocar o solo? Desconsidere o atrito com o ar.
c) Se, durante a queda, o atrito causado pela resistência do ar dissipar 20% dessa energia, com que velocidade o pacote toca o solo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados fornecidos:
    O pacote tem massa 500\\ \mathrm{g}.
    A aceleração da gravidade é g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    A altura máxima atingida é 60\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    a) Qual a energia potencial do pacote quando atinge a altura máxima de 60\\ \mathrm{m}?
    b) Desconsiderando atrito com o ar, qual será a velocidade do pacote ao tocar o solo?
    c) Se durante a queda o atrito dissipar 20\% dessa energia, com que velocidade o pacote toca o solo?

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar a massa para unidades do SI. O enunciado deu 500\\ \mathrm{g}. Para usar as fórmulas, precisamos de quilogramas (kg). A conversão é:
500\\ \mathrm{g}=0,500\\ \mathrm{kg}.
Expliquei porque: as fórmulas de energia e movimento usam massa em kg, velocidade em m/s e g em \mathrm{m/s^{2}}.
Agora vamos à definição de energia potencial gravitacional perto da superfície terrestre. A fórmula é:
E_{p}=m g h,
onde:
E_{p} é a energia potencial gravitacional (em joules, \mathrm{J}),
m é a massa (em kg),
g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
h é a altura em relação a um referencial (em m).
Aplicando a fórmula com m=0,500\\ \mathrm{kg}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} e h=60\\ \mathrm{m}:
E_{p}=0,500\cdot 9,81\cdot 60.
Agora fazemos as contas passo a passo:
0,500\cdot 9,81=4,905,
4,905\cdot 60=294,3.
Portanto a energia potencial na altura máxima é 294{,}3\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Agora a letra (b). Quando não há atrito do ar, a energia mecânica se conserva: a energia potencial que o objeto tinha no topo vira energia cinética ao chegar ao solo. A energia cinética de um objeto de massa m e velocidade v é dada por
E_{k}=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde E_{k} está em joules. Conservação de energia implica:
E_{p,\text{topo}}=E_{k,\text{solo}}.
Substituindo as expressões:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
Repare que a massa m aparece dos dois lados; podemos cancelar m (isso mostra que, sem resistência do ar, a velocidade final não depende da massa):
g h = \tfrac{1}{2} v^{2}.
Isolando v:
v=\sqrt{2 g h}.
Essa é uma fórmula muito útil: a velocidade de impacto em queda livre a partir do repouso a altura h é \sqrt{2gh}.
Agora substituímos os valores numéricos:
v=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 60}.
Calculemos passo a passo:
2\cdot 9{,}81=19{,}62,
19{,}62\cdot 60=1177{,}2,
v=\sqrt{1177{,}2}\approx 34{,}3\\ \mathrm{m/s}.
(Dica prática: ao calcular raiz quadrada sem calculadora, você pode estimar como fiz — encontrar um quadrado próximo e ajustar. Aqui o resultado arredondado com uma casa decimal é suficiente para provas.)

Passo 4

Breve comentário sobre escolha do método: poderíamos ter usado as equações do movimento (cinemática) para queda livre, por exemplo v^{2}=v_{0}^{2}+2 a \Delta y com v_{0}=0 e a=-g, o que levaria à mesma expressão v=\sqrt{2gh}. Optei por usar conservação de energia pois é conceitualmente direto e mostra por que a massa some da expressão — é uma vantagem nas provas.

Passo 5

Agora a letra (c). O enunciado diz que durante a queda o atrito com o ar dissipa 20\% da energia. Isso significa que apenas 80\% da energia potencial inicial se transforma em energia cinética ao tocar o solo. Vamos calcular a energia cinética disponível ao solo:
E_{k,\text{efetiva}}=0{,}80\cdot E_{p}.
Usamos o E_{p} que calculamos no Passo 2: E_{p}=294{,}3\\ \mathrm{J}. Então
E_{k,\text{efetiva}}=0{,}80\cdot 294{,}3=235{,}44\\ \mathrm{J}.
Agora relacionamos isso com a energia cinética:
\tfrac{1}{2} m v^{2}=235{,}44.
Isolando v:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 235{,}44}{m}}.
Lembrando que m=0{,}500\\ \mathrm{kg}, substituímos:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 235{,}44}{0{,}500}}=\sqrt{941{,}76}.
Calculando a raiz:
v\approx 30{,}7\\ \mathrm{m/s}.
Observação alternativa (forma direta): como E_{k}=\tfrac{1}{2} m v^{2}=0{,}8\,m g h, temos v^{2}=2\cdot 0{,}8\,g h=1{,}6\,g h e assim
v=\sqrt{1{,}6\cdot g\cdot h}=\sqrt{1{,}6\cdot 9{,}81\cdot 60}\approx 30{,}7\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado.

Passo 6

Pequeno resumo motivador: fizemos a conversão de unidades, aplicamos a fórmula da energia potencial, usamos conservação de energia para a queda sem atrito e depois ajustamosquando há dissipação. Você pode usar exatamente esses passos na prova: converter massa para kg, calcular E_{p}=mgh, igualar a energia cinética (ou usar v=\sqrt{2gh}) e, se houver perda percentual, multiplicar por 1- perda para achar a energia útil.

Resposta

(a) 294{,}3\\ \mathrm{J}
(b) 34{,}3\\ \mathrm{m/s}
(c) 30{,}7\\ \mathrm{m/s}

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