Questão 01: Guia de onda retangular
Em aula, vimos que, na propagação de ondas TE por uma guia de onda de formato retangular, com altura a e largura b, o número de onda da onda propagante com frequência omega deve satisfazer a equação
k=raizomega^2c^2-pi^2(n^2a^2+m^2b^2),
onde m, n=0,1,2,3, ldots e c é a velocidade da luz no vácuo.
(a) (1,5) Se a>b, mostre que a frequência mais baixa no qual é possível haver a propagação da onda no guia, chamada frequência de corte, é dada por
omegac=pi ca
(b) (1 , 5) Mostre que, quando a frequência da onda vale omega=2 pi c / a, a velocidade de fase do modo TE10(n=1, m=0) vale
v=2 craiz3
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Passo 1

O enunciado trata da propagação de ondas do tipo TE numa guia de onda retangular de dimensões altura a e largura b. O número de onda ao longo da direção de propagação satisfaz
k=raizomega^2c^2-pi^2l(n^2a^2+m^2b^2r),
com m,n=0,1,2,dots. Na parte (a) a ideia é encontrar a menor frequência omega que torna k real (frequência de corte) e na parte (b) usar esse resultado no modo TE10 (ou seja n=1,m=0) para calcular a velocidade de fase.

Passo 2

Para que haja propagação precisamos de k real, isto é, o radicando deve ser não-negativo:
omega^2c^2-pi^2l(n^2a^2+m^2b^2r)>=0
A menor combinação não nula de (n,m) é (1,0), pois a>b. Substituindo n=1 e m=0 na condição de igualdade, vem
omegac^2c^2=pi^21a^2 Longrightarrow omegac=pi ca

Passo 3

Agora suponha omega=2pi c/a e modo TE10. O número de onda torna-se
k=raiz(2pi c/a)^2c^2-pi^21a^2 =piaraiz4-1 =piraiz3a
A velocidade de fase é definida por v=omega/k, logo
v=2pi c/a(piraiz3/a)=2craiz3

Passo 4

O resultado v=2c/raiz3 é maior que c. Isso não viola a teoria da relatividade pois é apenas a velocidade de fase da onda; a velocidade de grupo (que transporta informação e energia) permanece abaixo de c.

Resposta

(a) omegac=dfracpi ca
(b) Para omega=2pi c/a no modo TE10,
v=2craiz3,
o que é maior que c sem, contudo, transmitir informação mais rápido que a luz.

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