Questão 01)
Um homem com massa de M=70 kg está parado na extremidade de uma canoa também parada, cuja massa é de m=60 \mathrm{~kg}, e cujo comprimento é de 4,0 \mathrm{~m}. Ele corre até a outra extremidade e salta na água com velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção horizontal.
(a) Com que velocidade recua a canoa?
(b) De quanto a canoa recua até o instante do salto?
c) Quais seriam as respostas anteriores se em vez de saltar o homem parasse na extremidade oposta de onde estava inicialmente?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Massa do homem: M=70\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da canoa: m=60\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento da canoa: L=4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do homem ao saltar (em relação à água/terra): v_{\text{h}}=2{,}0\\ \mathrm{m/s} na direção horizontal (vou tomar essa direção como positiva para o movimento do homem).
    O enunciado pede:
    (a) Qual a velocidade com que a canoa recua (após o salto do homem)?
    (b) De quanto a canoa recua até o instante do salto (isto é, durante o tempo em que o homem corre da extremidade inicial até a extremidade oposta, antes de saltar)?
    (c) Se, em vez de saltar, o homem apenas parasse na extremidade oposta, quais seriam as respostas para (a) e (b) nesse caso?

Passo 2

Princípio que vamos usar para (a): conservação da quantidade de movimento linear (momentum) na direção horizontal. Explicando a ideia de forma simples: se não há forças externas horizontais significativas atuando (ou se o impulso externo é desprezível), a soma dos momentos lineares de homem e canoa antes e depois do salto permanece igual. Matematicamente, para dois corpos:
(M) v_{\text{h,final}} + (m) v_{\text{c,final}} = (M+m)\,v_{\text{inicial}}.
Aqui a situação inicial é repouso, logo v_{\text{inicial}}=0. Então:
M v_{\text{h,final}} + m v_{\text{c,final}} = 0.
Isolando a velocidade da canoa v_{\text{c,final}}:
v_{\text{c,final}} = -\frac{M}{m}\,v_{\text{h,final}}.
O sinal negativo indica que a canoa se move no sentido oposto ao do homem.

Passo 3

Substituindo os números na fórmula anterior para o caso do salto (onde v_{\text{h,final}}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}):
v_{\text{c,final}} = -\frac{70}{60}\times 2{,}0\\ \mathrm{m/s} = -\frac{7}{6}\times 2{,}0\\ \mathrm{m/s} = -\frac{14}{6}\\ \mathrm{m/s} = -\frac{7}{3}\\ \mathrm{m/s}.
Em forma decimal:
v_{\text{c,final}} \approx -2{,}333\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a canoa recua com velocidade de 2{,}333\\ \mathrm{m/s} na direção oposta à corrida do homem.

Passo 4

Agora (b): deslocamento da canoa até o instante do salto. Estratégia escolhida (didática e eficiente): usar conservação da posição do centro de massa do sistema homem+canoa enquanto não houver impulso externo significativo. Explico a ideia passo a passo:
  • Definição do centro de massa unidimensional:
x_{\text{cm}}=\frac{M x_{\text{h}} + m x_{\text{c}}}{M+m},
onde x_{\text{h}} e x_{\text{c}} são as posições (no mesmo eixo) do homem e do centro da canoa, respectivamente.
  • Se o sistema estava inicialmente em repouso e não recebe impulso externo horizontal, o centro de massa não se desloca: \Delta x_{\text{cm}}=0. Portanto, a soma dos deslocamentos ponderados é zero:
M\,\Delta x_{\text{h}} + m\,\Delta x_{\text{c}} = 0.
  • Relação entre deslocamentos: o homem corre de uma extremidade à outra da canoa, isto é, ele se desloca em relação à canoa uma distância L. Se indicarmos por \Delta x_{\text{c}} o deslocamento (no referencial da água) do centro da canoa para a direita (pode ser negativo se for para a esquerda), então o deslocamento do homem em relação ao solo é
\Delta x_{\text{h}} = L + \Delta x_{\text{c}},
pois ele avança L em relação à canoa e simultaneamente a canoa desloca-se \Delta x_{\text{c}}.
  • Substituindo em M\,\Delta x_{\text{h}} + m\,\Delta x_{\text{c}} = 0:
M\,(L + \Delta x_{\text{c}}) + m\,\Delta x_{\text{c}} = 0.
Agrupando termos em \Delta x_{\text{c}}:
M L + (M + m)\,\Delta x_{\text{c}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \Delta x_{\text{c}} = -\frac{M L}{M + m}.
Esse resultado é muito útil: dá diretamente quanto o centro da canoa desloca-se (sinal negativo significa recuo, ou seja, para a esquerda, oposto ao sentido da corrida do homem).

Passo 5

Agora calculamos numericamente \Delta x_{\text{c}}:
\Delta x_{\text{c}} = -\frac{70\times 4{,}0}{70+60}\\ \mathrm{m} = -\frac{280}{130}\\ \mathrm{m} = -\frac{28}{13}\\ \mathrm{m}.
Em decimal:
\Delta x_{\text{c}} \approx -2{,}1538\\ \mathrm{m}.
Interpretação: até o instante em que o homem chega à extremidade oposta (ou seja, imediatamente antes do salto), a canoa recuou aproximadamente 2{,}15\\ \mathrm{m} na direção oposta à corrida do homem.
Observação numérica útil: o deslocamento do homem relativo ao solo até esse instante é
\Delta x_{\text{h}} = L + \Delta x_{\text{c}} = 4{,}0 + (-2{,}1538) \approx 1{,}8462\\ \mathrm{m},
ou seja, embora ele tenha corrido 4{,}0\\ \mathrm{m} em relação à canoa, em relação ao solo avançou cerca de 1{,}85\\ \mathrm{m} — a diferença foi compensada pelo recuo da canoa, de modo que o centro de massa permaneceu no mesmo lugar.

Passo 6

Finalmente (c): se o homem não saltasse, mas simplesmente parasse na extremidade oposta, o que muda?
  • Para a velocidade final da canoa (correspondente à parte (a) na nova situação): quando o homem para sobre a canoa e ambos ficam juntos, qualquer velocidade comum final V_{\text{final}} deve satisfazer conservação do momentum. Como o sistema começou em repouso e não houve impulso externo horizontal, o momentum total final deve ser zero:
(M+m) V_{\text{final}} = 0 \quad\Rightarrow\quad V_{\text{final}} = 0.
Portanto, no caso em que o homem apenas para na outra extremidade, a canoa não fica com velocidade final de recuo — ao final ambos estarão em repouso em relação à água/solo.
  • Para o recuo até o instante em que o homem alcança a outra extremidade (parte (b) na nova situação): esse recuo depende apenas de quanto o homem se desloca em relação à canoa (isto é, L) e da conservação do centro de massa durante esse movimento interno. Logo, o deslocamento da canoa até o instante em que o homem chega à extremidade oposta é o mesmo que calculamos antes:
\Delta x_{\text{c}} = -\frac{M L}{M + m} \approx -2{,}1538\\ \mathrm{m}.
A diferença é que, depois que o homem “para” (freando sobre a canoa), forças internas fazem com que a canoa volte e o sistema termine em repouso relativo ao solo — mas até o instante em que ele alcança a borda, o recuo é o mesmo do caso anterior.

Resposta

(a) v_{\text{canoa}} = -\dfrac{7}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx -2{,}333\\ \mathrm{m/s} (sinal negativo: direção oposta ao movimento do homem).
(b) \Delta x_{\text{canoa}} = -\dfrac{28}{13}\\ \mathrm{m}\approx -2{,}1538\\ \mathrm{m} (recuo de 2{,}15\\ \mathrm{m}).
(c) Se o homem apenas parasse na extremidade oposta: (a) v_{\text{canoa, final}}=0\\ \mathrm{m/s}.
(c) (b) O recuo até o instante em que o homem alcança a outra extremidade continua sendo \Delta x_{\text{canoa}}=-\dfrac{28}{13}\\ \mathrm{m}\approx -2{,}1538\\ \mathrm{m}.

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