Questão 01)
Um homem com massa de
kg está parado na extremidade de uma canoa também parada, cuja massa é de
, e cujo comprimento é de
. Ele corre até a outra extremidade e salta na água com velocidade de
na direção horizontal.
(a) Com que velocidade recua a canoa?
(b) De quanto a canoa recua até o instante do salto?
c) Quais seriam as respostas anteriores se em vez de saltar o homem parasse na extremidade oposta de onde estava inicialmente?
Um homem com massa de
(a) Com que velocidade recua a canoa?
(b) De quanto a canoa recua até o instante do salto?
c) Quais seriam as respostas anteriores se em vez de saltar o homem parasse na extremidade oposta de onde estava inicialmente?
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Massa do homem:
. - Massa da canoa:
. - Comprimento da canoa:
. - Velocidade do homem ao saltar (em relação à água/terra):
na direção horizontal (vou tomar essa direção como positiva para o movimento do homem).
O enunciado pede:
(a) Qual a velocidade com que a canoa recua (após o salto do homem)?
(b) De quanto a canoa recua até o instante do salto (isto é, durante o tempo em que o homem corre da extremidade inicial até a extremidade oposta, antes de saltar)?
(c) Se, em vez de saltar, o homem apenas parasse na extremidade oposta, quais seriam as respostas para (a) e (b) nesse caso?
Passo 2
Princípio que vamos usar para (a): conservação da quantidade de movimento linear (momentum) na direção horizontal. Explicando a ideia de forma simples: se não há forças externas horizontais significativas atuando (ou se o impulso externo é desprezível), a soma dos momentos lineares de homem e canoa antes e depois do salto permanece igual. Matematicamente, para dois corpos:
Aqui a situação inicial é repouso, logo
. Então:
Isolando a velocidade da canoa
:
O sinal negativo indica que a canoa se move no sentido oposto ao do homem.
Passo 3
Substituindo os números na fórmula anterior para o caso do salto (onde
):
Em forma decimal:
Interpretação: a canoa recua com velocidade de
na direção oposta à corrida do homem.
Passo 4
Agora (b): deslocamento da canoa até o instante do salto. Estratégia escolhida (didática e eficiente): usar conservação da posição do centro de massa do sistema homem+canoa enquanto não houver impulso externo significativo. Explico a ideia passo a passo:
- Definição do centro de massa unidimensional:
onde
e
são as posições (no mesmo eixo) do homem e do centro da canoa, respectivamente.
- Se o sistema estava inicialmente em repouso e não recebe impulso externo horizontal, o centro de massa não se desloca:
. Portanto, a soma dos deslocamentos ponderados é zero:
- Relação entre deslocamentos: o homem corre de uma extremidade à outra da canoa, isto é, ele se desloca em relação à canoa uma distância
. Se indicarmos por o deslocamento (no referencial da água) do centro da canoa para a direita (pode ser negativo se for para a esquerda), então o deslocamento do homem em relação ao solo é
pois ele avança
em relação à canoa e simultaneamente a canoa desloca-se
.
- Substituindo em
:
Agrupando termos em
:
Esse resultado é muito útil: dá diretamente quanto o centro da canoa desloca-se (sinal negativo significa recuo, ou seja, para a esquerda, oposto ao sentido da corrida do homem).
Passo 5
Agora calculamos numericamente
:
Em decimal:
Interpretação: até o instante em que o homem chega à extremidade oposta (ou seja, imediatamente antes do salto), a canoa recuou aproximadamente
na direção oposta à corrida do homem.
Observação numérica útil: o deslocamento do homem relativo ao solo até esse instante é
ou seja, embora ele tenha corrido
em relação à canoa, em relação ao solo avançou cerca de
— a diferença foi compensada pelo recuo da canoa, de modo que o centro de massa permaneceu no mesmo lugar.
Passo 6
Finalmente (c): se o homem não saltasse, mas simplesmente parasse na extremidade oposta, o que muda?
- Para a velocidade final da canoa (correspondente à parte (a) na nova situação): quando o homem para sobre a canoa e ambos ficam juntos, qualquer velocidade comum final
deve satisfazer conservação do momentum. Como o sistema começou em repouso e não houve impulso externo horizontal, o momentum total final deve ser zero:
Portanto, no caso em que o homem apenas para na outra extremidade, a canoa não fica com velocidade final de recuo — ao final ambos estarão em repouso em relação à água/solo.
- Para o recuo até o instante em que o homem alcança a outra extremidade (parte (b) na nova situação): esse recuo depende apenas de quanto o homem se desloca em relação à canoa (isto é,
) e da conservação do centro de massa durante esse movimento interno. Logo, o deslocamento da canoa até o instante em que o homem chega à extremidade oposta é o mesmo que calculamos antes:
A diferença é que, depois que o homem “para” (freando sobre a canoa), forças internas fazem com que a canoa volte e o sistema termine em repouso relativo ao solo — mas até o instante em que ele alcança a borda, o recuo é o mesmo do caso anterior.
Resposta
(a)
(sinal negativo: direção oposta ao movimento do homem).
(b) (recuo de
).
(c) Se o homem apenas parasse na extremidade oposta: (a) .
(c) (b) O recuo até o instante em que o homem alcança a outra extremidade continua sendo .
(b)
(c) Se o homem apenas parasse na extremidade oposta: (a)
(c) (b) O recuo até o instante em que o homem alcança a outra extremidade continua sendo