QUESTÃO 01. Um mol de gás ideal, inicialmente sob pressão de 1 bar e a 298 K , realiza o seguinte ciclo, constituído de etapas reversíveis: Etapa (\mathbf{1} \rightarrow \mathbf{2}) - expansão isobárica até atingir a temperatura de 473 K ; Etapa (2 \rightarrow 3) - expansão isotérmica em que o volume do gás aumenta de cinco vezes; Etapa (3 \rightarrow 4) - compressão isobárica até atingir a temperatura de 298 K ; Etapa (4 \rightarrow 1) - compressão isotérmica até a pressão de 1 bar. Determinar o calor (q); o trabalho (w); a variação de energia interna (\Delta \mathrm{U}) e a de entalpia (\Delta \mathrm{H}) do gás em cada etapa do ciclo. Dados: A capacidade calorífica do gás, a V constante ( Cv ), é igual a 20,7 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}. ( \mathbf{0 , 8} Ponto)
Etapa Trabalho (J) Calor (J)
Variação de
energia interna (J)
Variação de entalpia (J)
\mathbf{1} \rightarrow \mathbf{2}
\mathbf{2} \rightarrow \mathbf{3}
\mathbf{3} \rightarrow \mathbf{4}
ciclo

Passo 1

O enunciado pede, para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo, os valores do calor q, do trabalho w, da variação de energia interna \Delta U e da variação de entalpia \Delta H. Dados e informações fornecidas:
  • Quantidade de gás: n=1 mol.
  • Estado inicial (ponto 1): pressão P_1=1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}, temperatura T_1=298\\ \mathrm{K}.
  • Etapa (1\rightarrow2): expansão isobárica até T_2=473\\ \mathrm{K}.
  • Etapa (2\rightarrow3): expansão isotérmica a T_2=473\\ \mathrm{K} com V_3=5V_2.
  • Etapa (3\rightarrow4): compressão isobárica até T_4=298\\ \mathrm{K}.
  • Etapa (4\rightarrow1): compressão isotérmica a T_1=298\\ \mathrm{K} até P_1=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Capacidade calorífica molar a volume constante: C_V=20{,}7\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Constante dos gases ideais: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
    O objetivo é calcular q, w, \Delta U e \Delta H para cada etapa e para o ciclo.

Passo 2

Vamos calcular volumes e temperaturas intermediárias (usar Lei dos Gases Ideais \,P V = n R T). Primeiro os volumes nos pontos 1 a 4 (todos em \mathrm{m^{3}}):
V_1=\frac{nRT_1}{P_1}=\frac{1\cdot 8{,}314\cdot 298}{10^{5}}=0{,}02478572\\ \mathrm{m^{3}}\approx 0{,}02479\\ \mathrm{m^{3}}.
Como a etapa 1\rightarrow2 é isobárica até T_2=473\\ \mathrm{K},
V_2=\frac{nRT_2}{P_1}=\frac{8{,}314\cdot 473}{10^{5}}=0{,}03932922\\ \mathrm{m^{3}}\approx 0{,}03933\\ \mathrm{m^{3}}.
Na etapa isotérmica 2\rightarrow3 temos V_3=5V_2,
V_3=5\cdot 0{,}03932922=0{,}1966461\\ \mathrm{m^{3}}\approx 0{,}19665\\ \mathrm{m^{3}}.
A pressão em 3 é P_3=\dfrac{nRT_2}{V_3}=P_1/5=2\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa}. Na etapa isobárica 3\rightarrow4 a pressão é P_3 e a temperatura final é T_4=298\\ \mathrm{K}, logo
V_4=\frac{nRT_4}{P_3}=\frac{8{,}314\cdot 298}{2\cdot10^{4}}=0{,}1239286\\ \mathrm{m^{3}}\approx 0{,}12393\\ \mathrm{m^{3}}.
Verificação de consistência: V_4=5V_1 (pois P_3=P_1/5 e T_4=T_1), o que é verdade numericamente.

Passo 3

Recordando fórmulas importantes (aqui explico didaticamente cada uma):
  • Primeira Lei da Termodinâmica (convenção química usada aqui): \displaystyle \Delta U = q + w, onde q é o calor transferido para o sistema (positivo se entra calor) e w é o trabalho feito sobre o sistema (positivo se o sistema é comprimido).
  • Para trabalho de expansão/compressão reversível com apenas trabalho P V: \displaystyle w=-\int_{V_i}^{V_f} P\,dV. Em processos isobáricos isso vira w=-P\,\Delta V. Em processos isotérmicos reversíveis para gás ideal: \displaystyle w=-nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura, portanto \displaystyle \Delta U = n C_V \Delta T. Aqui C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante; significa quanto de energia interna (por mol) muda por grau de temperatura.
  • A entalpia H para gás ideal também depende só de T, e \displaystyle \Delta H = n C_P \Delta T, com C_P=C_V+R (relação de Mayer). Vou usar C_P=20{,}7+8{,}314=29{,}014\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 4

Cálculos da etapa (1\rightarrow2) — expansão isobárica até T_2=473\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura: \Delta T_{1\rightarrow2}=T_2-T_1=473-298=175\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_{1\rightarrow2}=n C_V \Delta T = 1\cdot 20{,}7\cdot 175 = 3\,622{,}50\\ \mathrm{J}.
Explicação: multiplica-se a capacidade C_V pelo número de mols e pela variação de temperatura — é direto.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_{1\rightarrow2}=n C_P \Delta T = 1\cdot 29{,}014\cdot 175 = 5\,077{,}45\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho (isobárico):
w_{1\rightarrow2}=-P_1\,(V_2-V_1)=-10^{5}\cdot\big(0{,}03932922-0{,}02478572\big)=-1\,454{,}95\\ \mathrm{J}.
Comentário: para expansão V_2>V_1 e w fica negativo (trabalho realizado pelo gás).
  • Calor q pela primeira lei:
q_{1\rightarrow2}=\Delta U_{1\rightarrow2}-w_{1\rightarrow2}=3\,622{,}50-(-1\,454{,}95)=5\,077{,}45\\ \mathrm{J},
que coincide com \Delta H, como esperado para processo a pressão constante ( q_p=\Delta H).

Passo 5

Cálculos da etapa (2\rightarrow3) — expansão isotérmica reversível a T=473\\ \mathrm{K} com V_3=5V_2.
  • Para isoterma de gás ideal \Delta U=0 (energia interna só depende de T e T não muda):
\Delta U_{2\rightarrow3}=0.
  • Trabalho (isotérmico reversível):
w_{2\rightarrow3}=-n R T \ln\!\left(\frac{V_3}{V_2}\right)=-1\cdot 8{,}314\cdot 473\cdot\ln(5).
Calculemos passo a passo:
nRT=8{,}314\cdot 473=3\,932{,}922\\ \mathrm{J}, \qquad \ln(5)=1{,}6094379\ldots
w_{2\rightarrow3}=-3\,932{,}922\cdot 1{,}6094379=-6\,329{,}81\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).
  • Calor q pela primeira lei ( \Delta U=0\Rightarrow q=-w):
q_{2\rightarrow3}=-w_{2\rightarrow3}=6\,329{,}81\\ \mathrm{J}.
Comentário: como o gás se expande isotermicamente, ele recebe calor que é convertido em trabalho; por isso q>0 e w<0.

Passo 6

Cálculos da etapa (3\rightarrow4) — compressão isobárica até T_4=298\\ \mathrm{K} (pressão P_3=2\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa}).
  • Variação de temperatura: \Delta T_{3\rightarrow4}=T_4-T_3=298-473=-175\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_{3\rightarrow4}=n C_V \Delta T = 1\cdot 20{,}7\cdot(-175)=-3\,622{,}50\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_{3\rightarrow4}=n C_P \Delta T = 1\cdot 29{,}014\cdot(-175)=-5\,077{,}45\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho (isobárico; compressão, portanto trabalho sobre o sistema é positivo):
w_{3\rightarrow4}=-P_3\,(V_4-V_3)=-2\cdot10^{4}\cdot\big(0{,}1239286-0{,}1966461\big).
Usando cancelamento com nR\Delta T (mais direto):
P_3(V_4-V_3)=nR(T_4-T_3)=8{,}314\cdot(-175)=-1\,454{,}95\\ \mathrm{J},
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w_{3\rightarrow4}=-\big(nR(T_4-T_3)\big)=+1\,454{,}95\\ \mathrm{J}.
  • Calor:
q_{3\rightarrow4}=\Delta U_{3\rightarrow4}-w_{3\rightarrow4}=-3\,622{,}50-1\,454{,}95=-5\,077{,}45\\ \mathrm{J},
coincidindo com \Delta H (processo isobárico).

Passo 7

Cálculos da etapa (4\rightarrow1) — compressão isotérmica reversível a T=298\\ \mathrm{K} até P_1=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • É isotérmica, então \Delta U_{4\rightarrow1}=0.
  • Trabalho (isotérmico reversível):
w_{4\rightarrow1}=-n R T_1 \ln\!\left(\frac{V_1}{V_4}\right).
Como V_4=5V_1, \dfrac{V_1}{V_4}=\dfrac{1}{5} e \ln\!\left(\dfrac{V_1}{V_4}\right)=-\ln(5). Assim
w_{4\rightarrow1}=-nR T_1\big(-\ln(5)\big)=+nR T_1\ln(5).
Calcule:
nR T_1=8{,}314\cdot 298=2\,478{,}572\\ \mathrm{J}, \qquad w_{4\rightarrow1}=2\,478{,}572\cdot 1{,}6094379=3\,989{,}10\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).
  • Calor:
q_{4\rightarrow1}=-w_{4\rightarrow1}=-3\,989{,}10\\ \mathrm{J}.
Comentário: compressão isotérmica requer que se retire calor ( q<0 ) enquanto o trabalho é realizado sobre o gás ( w>0).

Passo 8

Soma sobre o ciclo e checagens finais (propriedades de função de estado).
  • Soma das variações de energia interna no ciclo:
\Delta U_{\text{ciclo}}=\sum \Delta U_i = 3\,622{,}50 + 0 + (-3\,622{,}50) + 0 = 0,
como esperado (retorno ao estado inicial).
  • Soma das variações de entalpia:
\Delta H_{\text{ciclo}}=\sum \Delta H_i = 5\,077{,}45 + 0 + (-5\,077{,}45) + 0 = 0,
também consistente.
  • Trabalho total no ciclo:
w_{\text{ciclo}}=w_{1\rightarrow2}+w_{2\rightarrow3}+w_{3\rightarrow4}+w_{4\rightarrow1}= -1\,454{,}95-6\,329{,}81+1\,454{,}95+3\,989{,}10=-2\,340{,}71\\ \mathrm{J}.
Interpretação: w_{\text{ciclo}}<0 significa trabalho líquido realizado pelo sistema (porque usamos w como trabalho sobre o sistema).
  • Calor total no ciclo pela primeira lei ( \Delta U_{\text{ciclo}}=0\Rightarrow q_{\text{ciclo}}=-w_{\text{ciclo}}):
q_{\text{ciclo}}=-w_{\text{ciclo}}=+2\,340{,}71\\ \mathrm{J}.

Resposta

1\rightarrow2:\quad w=-1\,454{,}95\\ \mathrm{J},\\ q=5\,077{,}45\\ \mathrm{J},\\ \Delta U=3\,622{,}50\\ \mathrm{J},\\ \Delta H=5\,077{,}45\\ \mathrm{J}\n
2\rightarrow3:\quad w=-6\,329{,}81\\ \mathrm{J},\\ q=6\,329{,}81\\ \mathrm{J},\\ \Delta U=0,\\ \Delta H=0\n
3\rightarrow4:\quad w=+1\,454{,}95\\ \mathrm{J},\\ q=-5\,077{,}45\\ \mathrm{J},\\ \Delta U=-3\,622{,}50\\ \mathrm{J},\\ \Delta H=-5\,077{,}45\\ \mathrm{J}\n
4\rightarrow1:\quad w=+3\,989{,}10\\ \mathrm{J},\\ q=-3\,989{,}10\\ \mathrm{J},\\ \Delta U=0,\\ \Delta H=0\n
\text{ciclo (total):}\quad w=-2\,340{,}71\\ \mathrm{J},\\ q=2\,340{,}71\\ \mathrm{J},\\ \Delta U=0,\\ \Delta H=0

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