QUESTÃO 03. Um mol de gás real realiza uma expansão adiabática, desde 50 bar até 5 bar, contra pressão externa constante e igual a 5 bar. Devido à expansão, o volume do gás varia de 0,0005 \mathrm{~m}^{3} a 0,0046 \mathrm{~m}^{3}. Qual a variação de energia interna e de entalpia do gás e o trabalho e o calor envolvidos? (0,6 ponto)
\mathrm{w}=-\mathrm{n} \mathrm{R} \mathrm{~T} \ln \left(\mathrm{~V}_{2} / \mathrm{V}_{1}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de mols: n=1.
    • Pressão inicial do gás (internamente): P_{1}=50\\ \text{bar}.
    • Pressão externa constante contra a qual o gás expande: P_{\text{ext}}=5\\ \text{bar}.
    • Pressão final (quando o sistema equilibra): P_{2}=5\\ \text{bar}.
    • Volume inicial: V_{1}=0{,}0005\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Volume final: V_{2}=0{,}0046\\ \mathrm{m}^{3}.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Variação da energia interna do gás, \Delta U.
    • Variação da entalpia do gás, \Delta H.
    • Trabalho realizado pelo gás, w.
    • Calor trocado, q.
Observação: o enunciado apresenta uma fórmula \displaystyle w=-n R T \ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right). Vou comentar sobre ela antes de usá-la (se for aplicável).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
  • Primeira lei da termodinâmica para processo fechado:
    \Delta U = q + w,
    onde \Delta U é a variação de energia interna do sistema, q é o calor trocado com o entorno (positivo se recebido pelo sistema) e w é o trabalho feito sobre o sistema (positivo se feito sobre; aqui seguiremos a convenção química/termodinâmica onde w<0 indica trabalho realizado pelo sistema).
  • Processo adiabático significa que não há troca de calor:
    \text{adiabático} \Rightarrow q=0.á
    Assim, para este processo vale \Delta U = w.
  • Trabalho quando a expansão é contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}} (processo irreversível se P_{\text{ext}} é diferente da pressão interna durante a expansão):
    w = -\int_{V_{1}}^{V_{2}} P_{\text{ext}}\, dV = -P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1}).
    Essa expressão é válida independentemente de o gás ser ideal ou real, desde que P_{\text{ext}} seja constante.
  • Sobre a fórmula fornecida \displaystyle w=-n R T \ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right):
    • Essa é a expressão clássica do trabalho para uma expansão reversível isotérmica de um gás ideal ( w_{\text{rev, isotérmico}}=-\int P_{\text{int}}\,dVé com P_{\text{int}}=nRT/V).
    • No nosso caso o processo é adiabático (não isotérmico em geral) e ocorre contra pressão externa constante (irreversível), logo essa fórmula NÃO é aplicável aqui. Vou explicar isso: a fórmula pressupõe que T constante e que o trabalho é o integral da pressão interna que satisfaz a lei dos gases ideais; aqui não temos essas hipóteses.
  • Entalpia: por definição H=U+PV. Para a variação:
    \Delta H = \Delta U + \Delta(PV).
    Podemos calcular \Delta(PV)=P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1} conhecendo pressões e volumes inicial e final (unidades corretas).

Passo 3

Calcular o trabalho w usando w=-P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1}). Primeiro converter pressões para SI (Pa) e calcular \Delta V.
  • Conversão de unidades:
    1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    Então
    P_{\text{ext}}=5\\ \text{bar}=5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Variação de volume:
    \Delta V = V_{2}-V_{1}=0{,}0046-0{,}0005=0{,}0041\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Aplicando a fórmula do trabalho:
    w = -P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1}) = -\bigl(5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\bigr)\cdot 0{,}0041\\ \mathrm{m}^{3}.
    Calcule:
    w = -2050\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: w<0 indica que o sistema (o gás) realizou trabalho sobre o entorno, gasto de energia interna do gás se não houver calor trocado.

Passo 4

Calcular a variação de energia interna \Delta U usando a primeira lei e o fato de processo adiabático.
  • Como o processo é adiabático: q=0.
  • Portanto: \Delta U = q + w = 0 + w = w.Logo \Delta U = -2050\\ \mathrm{J}.
Explicação didática: a energia interna do gás diminuiu porque ele fez trabalho para vencer a pressão externa; sem entrada de calor, essa energia saiu do gás.

Passo 5

Calcular a variação de entalpia \Delta H através de \Delta H=\Delta U+\Delta(PV).
  • Calcular P_{1}V_{1} e P_{2}V_{2} em unidades SI (J, porque \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3}=\mathrm{J}):
    • P_{1}=50\\ \text{bar}=50\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • Então P_{1}V_{1} = (5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa})\cdot(0{,}0005\\ \mathrm{m}^{3})=2500\\ \mathrm{J}.
    • P_{2}=5\\ \text{bar}=5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Então P_{2}V_{2} = (5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\cdot(0{,}0046\\ \mathrm{m}^{3})=2300\\ \mathrm{J}.
  • Variação \Delta(PV):
    \Delta(PV)=P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}=2300-2500=-200\\ \mathrm{J}.
  • Agora \Delta H:
    \Delta H = \Delta U + \Delta(PV) = -2050\\ \mathrm{J} + (-200\\ \mathrm{J}) = -2250\\ \mathrm{J}.
Comentário didático: para um gás ideal \Delta(PV)=nR\Delta T e \Delta H só depende de \Delta T; aqui usei os produtos P V reais no ponto inicial e final para obter \Delta(PV). Mesmo que o gás seja “real”, a relação \Delta H=\Delta U+\Delta(PV) é identidade termodinâmica válida em geral.

Passo 6

Resumo físico e checagem de sinais (para você entender como responder na prova).
  • Calor: por ser adiabático, \;q=0.
  • Trabalho: o gás realizou trabalho sobre o entorno, w=-2050\\ \mathrm{J}.
  • Energia interna: diminuiu na mesma magnitude do trabalho, \Delta U=-2050\\ \mathrm{J}.
  • Entalpia: também diminuiu, \Delta H=-2250\\ \mathrm{J}. A diferença entre \Delta H e \Delta U vem da variação de PV, que aqui foi -200\\ \mathrm{J}.
Observação sobre a fórmula do enunciado: a fórmula \displaystyle w=-n R T \ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) NÃO foi usada porque ela descreve o trabalho de uma expansão isotérmica reversível de gás ideal. No enunciado o processo é adiabático e a expansão é contra pressão externa constante (irreversível), então o trabalho real é dado por -P_{\text{ext}}\Delta V.

Resposta

\Delta U = -2050\\ \mathrm{J}
\Delta H = -2250\\ \mathrm{J}
w = -2050\\ \mathrm{J}
q = 0\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados