QUESTÃO 02. Um frasco de vidro, cujo volume é 1000 \mathrm{~cm}^{3} a 0^{\circ} \mathrm{C}, está completamente cheio de mercúrio a essa temperatura. Quando o conjunto é aquecido até 200^{\circ} \mathrm{C} transbordam 34 \mathrm{~cm}^{3} de mercúrio. Dado: coeficiente de dilatação do mercúrio: \alpha=0,18 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Calcule: ( 0,6 Ponto)
a) O aumento do volume sofrido pelo mercúrio
b) O coeficiente de dilatação do vidro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do frasco (e do mercúrio) à 0^\circ\mathrm{C}: V_0 = 1000\\ \mathrm{cm}^3.
    • A temperatura final: T_f = 200^\circ\mathrm{C}. Logo a variação de temperatura é \Delta T = 200^\circ\mathrm{C}.
    • Ao aquecer até 200^\circ\mathrm{C} transbordam 34\\ \mathrm{cm}^3 de mercúrio: volume transbordado V_{\text{trans}} = 34\\ \mathrm{cm}^3.
    • Coeficiente de dilatação do mercúrio (dado): \alpha_{\text{Hg}} = 0,18\times10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) O aumento do volume sofrido pelo mercúrio, isto é \Delta V_{\text{Hg}}.
    (b) O coeficiente de dilatação do vidro. (Na prática, calcular o coeficiente linear do vidro \alpha_{\text{vidro}}; a expansão volumétrica do vidro é 3\alpha_{\text{vidro}}.)

Passo 2

Conceito e fórmula para dilatação volumétrica de um líquido/volume inicial.
  • Para um corpo cuja expansão volumétrica é proporcional à temperatura, a variação de volume é dada por
\Delta V = \beta\,V_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta V é o aumento de volume;
  • V_0 é o volume inicial (à temperatura de referência);
  • \Delta T é a variação de temperatura;
  • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica. Para líquidos, o coeficiente dado \alpha_{\text{Hg}} corresponde a esse coeficiente volumétrico, então aqui usaremos \beta_{\text{Hg}}=\alpha_{\text{Hg}}.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao mercúrio para responder (a).
  • Usando \Delta V_{\text{Hg}} = \alpha_{\text{Hg}}\,V_0\,\Delta T, substituindo os valores:
\Delta V_{\text{Hg}} = \left(0,18\times10^{-3}\right)\times\left(1000\\ \mathrm{cm}^3\right)\times\left(200\right).
  • Calcule passo a passo:
    • Primeiro 0,18\times10^{-3}\times200 = 0,036.
    • Depois 0,036\times1000 = 36.
  • Portanto
\Delta V_{\text{Hg}} = 36\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Relação entre transbordamento, aumento do mercúrio e aumento do volume do frasco; conceito para o vidro.
  • O volume que transborda é a diferença entre o aumento do volume do mercúrio e o aumento do volume interno do frasco (que acompanha a dilatação do vidro). Então:
V_{\text{trans}} = \Delta V_{\text{Hg}} - \Delta V_{\text{frasco}}.
  • Para o vidro (um sólido), a dilatação volumétrica \beta_{\text{vidro}} está relacionada ao coeficiente linear \alpha_{\text{vidro}} por aproximadamente
\beta_{\text{vidro}} \approx 3\,\alpha_{\text{vidro}}.
  • O aumento do volume do frasco é
\Delta V_{\text{frasco}} = \beta_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T = 3\,\alpha_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T.

Passo 5

Montar e isolar a expressão para \alpha_{\text{vidro}}.
  • Partindo de
V_{\text{trans}} = \Delta V_{\text{Hg}} - 3\,\alpha_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T,
isolando \alpha_{\text{vidro}}:
3\,\alpha_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T = \Delta V_{\text{Hg}} - V_{\text{trans}}
\alpha_{\text{vidro}} = \frac{\Delta V_{\text{Hg}} - V_{\text{trans}}}{3\,V_0\,\Delta T}.
  • Outra forma útil é dividir tudo por V_0\Delta T:
\alpha_{\text{vidro}} = \frac{1}{3}\left(\alpha_{\text{Hg}} - \frac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T}\right),
pois \Delta V_{\text{Hg}}/(V_0\Delta T)=\alpha_{\text{Hg}}.

Passo 6

Calcular numericamente \alpha_{\text{vidro}}.
  • Calcular o termo \dfrac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T}:
\frac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T}=\frac{34}{1000\times200}=\frac{34}{200000}=0,00017=1,7\times10^{-4}.
  • Expressar \alpha_{\text{Hg}} em notação consistente:
\alpha_{\text{Hg}}=0,18\times10^{-3}=1,8\times10^{-4}.
  • Subtrair:
\alpha_{\text{Hg}}-\frac{V_{\text{trans}}}{V_0\,\Delta T}=1,8\times10^{-4}-1,7\times10^{-4}=0,1\times10^{-4}=1,0\times10^{-5}.
  • Dividir por 3:
\alpha_{\text{vidro}}=\frac{1,0\times10^{-5}}{3}=3,333\ldots\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Arredondando razoavelmente (dois algarismos significativos conforme dados):
\alpha_{\text{vidro}}\approx 3,33\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Resposta

(a) \Delta V_{\text{Hg}} = 36\\ \mathrm{cm}^3\n
(b) \alpha_{\text{vidro}} \approx 3,33\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}

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