Questão 01. (3,5 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y)=(x, x+y, y).
(a) (1,5) Determine a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que [S]_{C_{2}}^{C_{3}} seja a transposta de [T]_{C_{3}}^{C_{2}}, onde C_{2} e C_{3} são as bases canônicas do \mathbb{R}^{2} e do \mathbb{R}^{3}, respectivamente.
(b) (2,0) Determine uma base para o núcleo e para a imagem de T. T é injetiva? É sobrejetiva? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y)=(x,\;x+y,\;y).
As perguntas são:
(a) Determinar uma transformação linear S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} tal que [S]_{C_{2}}^{C_{3}} seja a transposta de [T]_{C_{3}}^{C_{2}}, onde C_{2} e C_{3} são as bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.
(b) Determinar uma base para o núcleo (\ker T) e para a imagem (\operatorname{Im}T) de T. Dizer se T é injetiva e se é sobrejetiva, justificando.
Passo 2
Primeiro vou escrever a matriz de T relativa às bases canônicas (isto é [T]_{C_{3}}^{C_{2}}). Lembre que para uma transformação linear, a matriz em bases canônicas tem colunas iguais às imagens dos vetores da base do domínio expressas na base do contradomínio. No domínio \mathbb{R}^{2} a base canônica é e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1). Calculo:
T(e_{1})=T(1,0)=(1,\;1+0,\;0)=(1,1,0),
T(e_{2})=T(0,1)=(0,\;0+1,\;1)=(0,1,1).
Portanto a matriz de T (dois vetores coluna em \mathbb{R}^{3}) é
Explico rapidamente por que a coluna é a imagem: a primeira coluna é T(e_{1}) expressa na base canônica de \mathbb{R}^{3}, a segunda coluna é T(e_{2}). Isso é a forma padrão de representar uma transformação linear entre espaços com bases canônicas.
Passo 4
Para a parte (a) pedem S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} tal que a matriz de S (relativa às bases canônicas) seja a transposta da matriz de T. Ou seja queremos
que é uma matriz 2\times 3. Essa será a matriz de S em bases canônicas.]
Passo 6
Agora escrevo S explicitamente. Se v=(u,v,w)\in\mathbb{R}^{3} (uso coordenadas (u,v,w)), a imagem por S é a multiplicação da matriz 2\times3 por \begin{pmatrix}u\\\ v\\\ w\end{pmatrix}. Assim
S(u,v,w)=\bigl(u+v,\;v+w\bigr).
Para conferir: a primeira linha da matriz dá 1\cdot u+1\cdot v+0\cdot w=u+v; a segunda linha dá 0\cdot u+1\cdot v+1\cdot w=v+w.
Passo 7
Agora a parte (b): encontro o núcleo de T\). Por definição \(\ker T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid T(x,y)=(0,0,0)\}\). Escrevo a equação
\[T(x,y)=(x,\;x+y,\;y)=(0,0,0).
Da primeira equação x=0\]. Da terceira \(y=0. A segunda x+y=0 é então 0+0=0, satisfeita. Logo a única solução é x=0,\;y=0.]
Passo 8
Conclusão sobre o núcleo: \ker T=\{(0,0)\}, ou seja o subespaço nulo. Lembre que o único vetor do núcleo é o vetor zero. O espaço nulo tem dimensão 0; a base do subespaço \{0\} é o conjunto vazio (não se toma o vetor zero como elemento de uma base). Vou anotar isso claramente na resposta final.
Passo 9
Agora encontro a imagem de T. A imagem é o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelas colunas da matriz de T, isto é
Das primeiras e terceiras equações obtemos \alpha=0 e \beta=0. Portanto são linearmente independentes. Assim \dim(\operatorname{Im}T)=2 e uma base natural para \operatorname{Im}T é
\{(1,1,0),\;(0,1,1)\}.]
Passo 11
Decido sobre injetividade e sobrejetividade usando o que já achei. Injetividade: uma transformação linear é injetiva se e só se \ker T=\{0\}. Aqui \ker T=\{(0,0)\}, logo T é injetiva. Sobrejetividade: T é sobrejetiva se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{3}. Como \dim(\operatorname{Im}T)=2 e \dim(\mathbb{R}^{3})=3, a imagem não é todo \mathbb{R}^{3}. Portanto T não é sobrejetiva. Alternativamente, a matriz de T tem posto 2 (menor que 3), então não alcança todos os vetores de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
(a) [S]_{C_{2}}^{C_{3}}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}, ou seja S(u,v,w)=(u+v,\;v+w).\n(b) \ker T=\{(0,0)\} (base do núcleo: conjunto vazio); \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,1,0),\;(0,1,1)\} (base da imagem: \{(1,1,0),(0,1,1)\}). T é injetiva: sim. T é sobrejetiva: não.]