Questão 03. (3,5 pontos) Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(2 x, 4 x+2 y-4 z, 2 x).
(a) (2,0) Determine os autovalores e os autovetores de T.
(b) (1,5) Determine uma base B de \mathbb{R}^{3} tal que [T]_{B}^{B} seja diagonal; e explicite [T]_{B}^{B}.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(2x,\;4x+2y-4z,\;2x).
As perguntas são:
(a) Determinar os autovalores e os autovetores de T.
(b) Determinar uma base B de \mathbb{R}^{3} tal que [T]_{B}^{B} seja diagonal e explicitar [T]_{B}^{B}.
Informações úteis extraídas do enunciado que vamos usar: a definição explícita de T (ou seja, como T age em um vetor qualquer (x,y,z)) e o espaço de definição/imagem \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Primeiro vamos obter a matriz de T na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}, porque isso facilita achar autovalores/autovetores. Lembre que a coluna j da matriz é T(e_j).
Calculemos T nas bases canônicas:
T(e_{1})=T(1,0,0)=(2,\;4,\;2),
T(e_{2})=T(0,1,0)=(0,\;2,\;0),
T(e_{3})=T(0,0,1)=(0,\;-4,\;0).
Portanto a matriz A de T na base canônica é (cada coluna é T(e_j)):
Explicação curta: representar T por uma matriz permite usar determinantes e resolver sistemas lineares para achar autovalores e autovetores.]
Passo 3
Lembrete da definição: um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem T(v)=\lambda v, ou matricialmente Av=\lambda v, isto é (A-\lambda I)v=0. Autovalores são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Calculemos \det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos A-\lambda I:
As duas últimas equações são equivalentes e dão 4x-4z=0\Rightarrow x=z\]. O componente \(y é livre (não aparece nas equações). Então tomamos parâmetros t para x=z e s para y:
v=(t,s,t)=t(1,0,1)+s(0,1,0).
Assim o espaço próprio associado a \lambda=2 é
E_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,1),\,(0,1,0)\}.
Ou seja, quaisquer combinações lineares não-triviais desses vetores são autovetores com autovalor \lambda=2.]
Passo 6
Agora organizamos os resultados e concluímos sobre diagonalização.
Resumo dos autovalores e respectivos espaços próprios:
As dimensões das espaços próprios somam 1+2=3, isto é, existem 3 autovetores linearmente independentes. Isso significa que A (e portanto T) é diagonalizável: existe uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores.
Escolhemos como base B a base formada por dois autovetores de \lambda=2 e um autovetor de \lambda=0. Por exemplo
Verificação rápida (útil para a prova): T(v_{1})=2v_{1}, T(v_{2})=2v_{2}, T(v_{3})=0\cdot v_{3}, conforme construímos os espaços próprios.
Na base B a matriz de T é diagonal com entradas iguais aos autovalores na mesma ordem dos vetores da base. Como escolhemos primeiro os vetores de \lambda=2 e depois o vetor de \lambda=0, temos
(a) Autovalores: \lambda=0 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).\n
Autovetores: \lambda=0:\; \operatorname{span}\{(0,2,1)\};\quad \lambda=2:\; \operatorname{span}\{(1,0,1),\,(0,1,0)\}.\n
(b) Uma base B formada por autovetores é B=\{(1,0,1),\,(0,1,0),\,(0,2,1)\} e