QUESTAO 01: As probabilidades dos jogos são seguramente calculadas quando se deseja saber as possibilidades de cada time. Esses experimentos podem repetir, nas mesmas condições, " n " vezes, porém as provas repetidas devem ser independentes, o resultado de uma não afeta os resultados das seguintes. A vitória de um time hoje não assegura as vitórias das próximas partidas, mesmo que exista uma preferência popular sobre esse tipo, ou seja, tudo é decidido em campo.
Dois times de futebol, " A " e " B ", jogam entre si 4 vezes, calcule a probabilidade do time " A " ganhar 3 vezes.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a probabilidade do time A ganhar exatamente 3 vezes em 4 jogos. Informações dadas e suposições que vou usar (não foi dado outro valor, então assumimos o caso padrão):
  • Número de jogos: n=4.
  • Queremos exatamente k=3 vitórias de A.
  • As partidas são independentes (dado no enunciado).
  • Vou assumir que a probabilidade do time A ganhar uma partida isolada é \;p=\tfrac{1}{2}\; (caso contrário precisaríamos do valor de p para continuar).

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que usaremos: cada jogo é um ensaio de Bernoulli (dois resultados: “A ganha” = sucesso, ou “A não ganha” = falha) com probabilidade de sucesso p. Para n ensaios independentes, o número de sucessos X tem distribuição binomial com parâmetro n e p. A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
Explicando os termos:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k jogos (entre os n) são vitórias — é o fator combinatório.
  • p^{k} é a probabilidade de ter k vitórias específicas.
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade das n-k partidas restantes não serem vitórias de A.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente combinatório \binom{n}{k} para n=4 e k=3. A definição é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Então:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)\cdot1}=\frac{24}{6}=4.
Interpretação simples: entre 4 jogos há 4 maneiras diferentes de escolher qual deles foi o que não foi vencido por A.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula binomial com n=4, k=3 e p=\tfrac{1}{2}:
P(X=3)=\binom{4}{3}\,p^{3}\,(1-p)^{1}.
Substituindo os valores:
P(X=3)=4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1} =4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}.
Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16}, temos
P(X=3)=4\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{4}{16}=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Checagem intuitiva (útil na prova): há 2^{4}=16 sequências possíveis de resultados “A ganha” / “A não ganha” se cada jogo tem duas possibilidades igualmente prováveis. As sequências com exatamente 3 vitórias de A são 4 (por exemplo: WWWL, WWLW, WLWW, LWWW). Portanto a probabilidade é 4/16=\tfrac{1}{4}, confirmando o cálculo anterior.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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