QUESTAO 01: As probabilidades dos jogos são seguramente calculadas quando se deseja saber as possibilidades de cada time. Esses experimentos podem repetir, nas mesmas condições, "
" vezes, porém as provas repetidas devem ser independentes, o resultado de uma não afeta os resultados das seguintes. A vitória de um time hoje não assegura as vitórias das próximas partidas, mesmo que exista uma preferência popular sobre esse tipo, ou seja, tudo é decidido em campo.
Dois times de futebol, "
" e "
", jogam entre si 4 vezes, calcule a probabilidade do time "
" ganhar 3 vezes.
Dois times de futebol, "
Passo 1
O enunciado pede: calcular a probabilidade do time
ganhar exatamente 3 vezes em 4 jogos. Informações dadas e suposições que vou usar (não foi dado outro valor, então assumimos o caso padrão):
- Número de jogos:
. - Queremos exatamente
vitórias de . - As partidas são independentes (dado no enunciado).
- Vou assumir que a probabilidade do time
ganhar uma partida isolada é (caso contrário precisaríamos do valor de para continuar).
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula que usaremos: cada jogo é um ensaio de Bernoulli (dois resultados: “A ganha” = sucesso, ou “A não ganha” = falha) com probabilidade de sucesso
. Para
ensaios independentes, o número de sucessos
tem distribuição binomial com parâmetro
e
. A fórmula da probabilidade de obter exatamente
sucessos é:
Explicando os termos:
-
é o número de maneiras de escolher quais jogos (entre os ) são vitórias — é o fator combinatório. -
é a probabilidade de ter vitórias específicas. -
é a probabilidade das partidas restantes não serem vitórias de .
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente combinatório
para
e
. A definição é:
onde
(fatorial) significa
. Então:
Interpretação simples: entre 4 jogos há 4 maneiras diferentes de escolher qual deles foi o que não foi vencido por
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula binomial com
,
e
:
Substituindo os valores:
Como
, temos
Passo 5
Checagem intuitiva (útil na prova): há
sequências possíveis de resultados “A ganha” / “A não ganha” se cada jogo tem duas possibilidades igualmente prováveis. As sequências com exatamente 3 vitórias de
são 4 (por exemplo: WWWL, WWLW, WLWW, LWWW). Portanto a probabilidade é
, confirmando o cálculo anterior.