Se P(A)=\frac{1}{2} ; P(B)=\frac{1}{3} e A e B mutuamente exclusivos, calcular:
a) \mathrm{P}(\bar{A})
b) P(A \cap B)
c) P(\overline{A \cap B})
d) P(A \cup B)
e) P(A \cup B)
f) P(\bar{A} \cap \bar{B})

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
\;P(A)=\frac{1}{2}, \;P(B)=\frac{1}{3} e A e B são mutuamente exclusivos.
Perguntas pedidas:
a) \;P(\bar{A})
b) \;P(A\cap B)
c) \;P(\overline{A\cap B})
d) \;P(A\cup B)
e) \;P(A\cup B) (repete a pergunta d)
f) \;P(\bar{A}\cap\bar{B})

Passo 2

Conceito necessário: definição de evento complementar. Para qualquer evento E, o complementar \bar{E} é o evento "não E". A probabilidade do complementar satisfaz a fórmula
P(\bar{E}) = 1 - P(E).
Aqui aplicamos isso para E=A. Então
P(\bar{A}) = 1 - P(A).
Substituindo P(A)=\frac{1}{2} obtemos
P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 3

Conceito necessário: eventos mutuamente exclusivos. Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, se a interseção é vazia. Em termos de probabilidade:
\text{se }A\text{ e }B\text{ são mutuamente exclusivos, então }P(A\cap B)=0.ãã
Como o enunciado diz que A e B são mutuamente exclusivos, concluímos diretamente
P(A\cap B)=0.

Passo 4

Conceito necessário: probabilidade do complementar de uma interseção. Para qualquer evento E,
P(\overline{E}) = 1 - P(E).
Tomando E = A\cap B, temos
P(\overline{A\cap B}) = 1 - P(A\cap B).
Usando o resultado do passo anterior P(A\cap B)=0,
P(\overline{A\cap B}) = 1 - 0 = 1.

Passo 5

Conceito necessário: fórmula da união de dois eventos. Em geral,
P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).
Explicação rápida (didática): somamos P(A) e P(B) mas a interseção A\cap B foi contada duas vezes, por isso subtraímos P(A\cap B).
Aqui, como P(A\cap B)=0 (mutuamente exclusivos), a fórmula simplifica para
P(A\cup B) = P(A) + P(B).
Substituindo P(A)=\frac{1}{2} e P(B)=\frac{1}{3},
P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.
Fazendo a soma com denominador comum 6:
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6},
logo
P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 6

Observação: a pergunta e) é igual à d). Portanto a resposta de e) é a mesma de d), ou seja \frac{5}{6}.

Passo 7

Conceito necessário: Lei de De Morgan e relação entre complementar da união e interseção dos complementares. De Morgan diz
\overline{A\cup B} = \bar{A}\cap\bar{B}.
Daí vem que
P(\bar{A}\cap\bar{B}) = P(\overline{A\cup B}) = 1 - P(A\cup B).
Usando P(A\cup B)=\frac{5}{6} do passo 5, obtemos
P(\bar{A}\cap\bar{B}) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.

Resposta

a) \frac{1}{2}
b) 0
c) 1
d) \frac{5}{6}
e) \frac{5}{6}
f) \frac{1}{6}

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