QUESTÃO 01 : Resolva as equações e as inequações abaixo.
2^{2 x+1}-3.2^{x+2}=32.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
2^{2x+1}-3\cdot 2^{x+2}=32.
Queremos encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações dadas relevantes:
  • A incógnita é x.
  • Expressões envolvem potências de base 2: 2^{2x+1} e 2^{x+2}.
  • O lado direito é o número 32.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades de potências que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Produto de potências com mesma base: \,2^{a+b}=2^a\cdot2^b\,. Isso permite separar expoentes somados.
  • Potência de potência: \,(2^x)^2 = 2^{2x}.
    Essas regras nos permitem reescrever os termos para identificar uma estrutura quadrática em 2^x.

Passo 3

Reescrevendo cada termo usando as propriedades:
2^{2x+1}=2^{1}\cdot 2^{2x}=2\cdot 2^{2x}=2\cdot(2^x)^2,
e
3\cdot 2^{x+2}=3\cdot 2^{2}\cdot 2^{x}=3\cdot 4\cdot 2^{x}=12\cdot 2^{x}.
Substituindo na equação original obtemos
2\cdot(2^x)^2-12\cdot 2^x=32.

Passo 4

Agora fazemos a substituição clássica para transformar em uma equação quadrática. Defina
y=2^x.
Como 2^x>0 para todo x, teremos y>0. Substituindo na equação do passo anterior:
2y^2-12y=32.
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
y^2-6y=16,
ou
y^2-6y-16=0.

Passo 5

Resolvemos a quadrática \,y^2-6y-16=0. Usando a fórmula quadrática, para uma equação ay^2+by+c=0 a solução é y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=-6, c=-16. Calcule o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-16)=36+64=100.
Portanto as raízes são
y=\frac{6\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{6\pm10}{2}.
Isso dá duas soluções para y:
y_1=\frac{6+10}{2}=8,\qquad y_2=\frac{6-10}{2}=-2.
Lembrando que y=2^x>0, descartamos y_2=-2 porque não existe x com 2^x=-2. Então a única possibilidade é
y=8.

Passo 6

Volta à variável x: temos 2^x=y=8. Escrever 8 como potência de 2: 8=2^3. Assim
2^x=2^3 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Sempre bom checar substituindo na equação original:
2^{2\cdot3+1}-3\cdot2^{3+2}=2^{7}-3\cdot2^{5}=128-3\cdot32=128-96=32,
que confirma a solução.

Resposta

x=3

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