QUESTÃO 01 : Resolva as equações e as inequações abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - Queremos todos os valores de
que satisfazem . - Lembrete imediato: para que
esteja definida, o argumento deve ser positivo, isto é, devemos ter .
Passo 2
Conceito importante sobre a função logaritmo natural:
- A função
é estritamente crescente para . Isso significa que, se então . - Em particular,
é equivalente a , desde que .
Aplicando isso ao nosso problema, com, obtemos a equivalência
porque a condição
já garante
(então a condição de existência do logaritmo fica satisfeita).
Passo 3
Transformar a inequação algébrica:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Resolver a inequação quadrática
.
- Calcular o discriminante da quadrática
com , , :
- As raízes da equação
são
Assim as raízes são
e
.
- Por ser um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo (
), o gráfico é uma parábola voltada para cima. Logo a expressão é negativa entre as raízes e não negativa fora delas. - Portanto a solução da inequação é
Passo 5
Verificação rápida das fronteiras:
- Para
: e , então satisfaz a desigualdade com igualdade. - Para
: e , também satisfaz. - Qualquer
fora do intervalo faz o argumento do ln maior ou igual a , então atende à condição.