QUESTÃO 01 : Resolva as equações e as inequações abaixo.
\ln \left(x^{2}-2 x-2\right) \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação \ln\left(x^{2}-2x-2\right)\geq 0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A expressão dentro do logaritmo é x^{2}-2x-2.
  • Queremos todos os valores de x que satisfazem \ln\left(x^{2}-2x-2\right)\geq 0.
  • Lembrete imediato: para que \ln(\cdot) esteja definida, o argumento deve ser positivo, isto é, devemos ter x^{2}-2x-2>0.

Passo 2

Conceito importante sobre a função logaritmo natural:
  • A função \ln(t) é estritamente crescente para t>0. Isso significa que, se t_1<t_2 então \ln(t_1)<\ln(t_2).
  • Em particular, \ln(t)\geq 0 é equivalente a t\geq 1, desde que t>0.
    Aplicando isso ao nosso problema, com t=x^{2}-2x-2, obtemos a equivalência
\ln\!\left(x^{2}-2x-2\right)\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x-2\geq 1,
porque a condição x^{2}-2x-2\geq 1 já garante x^{2}-2x-2>0 (então a condição de existência do logaritmo fica satisfeita).

Passo 3

Transformar a inequação algébrica:
x^{2}-2x-2\geq 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
x^{2}-2x-3\geq 0.

Passo 4

Resolver a inequação quadrática \;x^{2}-2x-3\geq 0\;.
  • Calcular o discriminante da quadrática ax^{2}+bx+c com a=1, b=-2, c=-3:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16.
  • As raízes da equação x^{2}-2x-3=0 são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}.
Assim as raízes são x=-1 e x=3.
  • Por ser um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo ( a=1>0), o gráfico é uma parábola voltada para cima. Logo a expressão x^{2}-2x-3 é negativa entre as raízes e não negativa fora delas.
  • Portanto a solução da inequação é
x\leq -1\quad\text{ou}\quad x\geq 3.

Passo 5

Verificação rápida das fronteiras:
  • Para x=-1: x^{2}-2x-2=1+2-2=1 e \ln(1)=0, então satisfaz a desigualdade com igualdade.
  • Para x=3: x^{2}-2x-2=9-6-2=1 e \ln(1)=0, também satisfaz.
  • Qualquer x fora do intervalo (-1,3) faz o argumento do ln maior ou igual a 1, então atende à condição.

Resposta

\;(-\infty,-1]\cup[3,\infty)

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