QUESTÃO 01 : Resolva a inequação -3 x>-x^{3}-2.

Passo 1

O enunciado dá a inequação -3x > -x^{3} - 2 e pede para encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes que temos:
  • É uma inequação envolvendo um polinômio (potência até x^{3}).
  • Precisamos determinar o conjunto de soluções em \mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo num só lado da desigualdade para trabalhar com um polinômio comparado a zero. Somamos x^{3}+2 aos dois lados e obtemos
-3x + x^{3} + 2 > 0.
Organizando os termos por ordem decrescente das potências de x,
x^{3} - 3x + 2 > 0.
Dica rápida: multiplicar ou somar a mesma quantidade nos dois lados preserva a desigualdade; se multiplicarmos por um número negativo, lembrar de inverter o sinal da desigualdade (não fizemos isso aqui).

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio x^{3}-3x+2. Uma estratégia prática é testar raízes inteiras pequenas ( \pm1,\pm2) usando o Teorema do Resto (se r é raiz, então x-r é fator). Testando:
x=1:\quad 1^{3}-3\cdot1+2 = 1-3+2 = 0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é um fator. Fazendo a divisão ou fatorando, temos
x^{3}-3x+2 = (x-1)\bigl(x^{2}+x-2\bigr).
Agora fatoramos a quadrática x^{2}+x-2. Procuramos dois números cujo produto seja -2 e cuja soma seja 1; esses números são 2 e -1. Assim
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).
Portanto
x^{3}-3x+2 = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^{2}(x+2).

Passo 4

Para resolver a inequação (x-1)^{2}(x+2) > 0 fazemos uma análise do sinal dos fatores.
  • O fator (x-1)^{2} é um quadrado, portanto é sempre \ge 0 para todo x, e só é igual a 0 quando x=1. Como é quadrado (multiplicidade par da raiz x=1), seu sinal não muda ao atravessar x=1: ele fica sempre positivo, exceto zero em x=1.
  • O fator (x+2) é zero em x=-2, positivo para x>-2 e negativo para x<-2.
As raízes que anulam o polinômio são x=-2 e x=1. Essas raízes particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty). Vamos testar o sinal do produto em cada intervalo com um ponto representante:
  • Para x=-3 (no intervalo (-\infty,-2)):
(x-1)^{2}(x+2)\big|_{x=-3} = ((-3-1)^{2})\cdot(-3+2) = (16)\cdot(-1) = -16 < 0.
Logo o polinômio é negativo nesse intervalo.
  • Para x=0 (no intervalo (-2,1)):
(x-1)^{2}(x+2)\big|_{x=0} = ((0-1)^{2})\cdot(0+2) = 1\cdot2 = 2 > 0.
Logo o polinômio é positivo nesse intervalo.
  • Para x=2 (no intervalo (1,\infty)):
(x-1)^{2}(x+2)\big|_{x=2} = ((2-1)^{2})\cdot(2+2) = 1\cdot4 = 4 > 0.
Logo o polinômio é positivo nesse intervalo.
Também observamos que em x=-2 e x=1 o polinômio é zero, mas como a desigualdade é estrita (>), esses pontos não pertencem à solução.
Portanto o polinômio x^{3}-3x+2 é maior que zero para x em (-2,1) e em (1,\infty).

Passo 5

Resumo prático para a prova (passos que deve aplicar sempre que aparecer uma inequação polinomial):
  1. Colocar tudo em um lado e ter \text{polinômio} > 0ô (ou <0).
  2. Factorizar o polinômio completamente (testando raízes racionais simples se necessário).
  3. Identificar as raízes e suas multiplicidades (par = sinal não muda; ímpar = sinal muda).
  4. Fazer um quadro de sinais ou testar um ponto em cada intervalo determinado pelas raízes.
  5. Colocar intervalo(s) onde o polinômio tem sinal desejado, excluindo raízes se a desigualdade for estrita.

Resposta

(-2,1)\cup(1,\infty)

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