O enunciado dá a inequação -3x > -x^{3} - 2 e pede para encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes que temos:
É uma inequação envolvendo um polinômio (potência até x^{3}).
Precisamos determinar o conjunto de soluções em \mathbb{R}.
Passo 2
Primeiro vamos colocar tudo num só lado da desigualdade para trabalhar com um polinômio comparado a zero. Somamos x^{3}+2 aos dois lados e obtemos
-3x + x^{3} + 2 > 0.
Organizando os termos por ordem decrescente das potências de x,
x^{3} - 3x + 2 > 0.
Dica rápida: multiplicar ou somar a mesma quantidade nos dois lados preserva a desigualdade; se multiplicarmos por um número negativo, lembrar de inverter o sinal da desigualdade (não fizemos isso aqui).
Passo 3
Agora vamos fatorar o polinômio x^{3}-3x+2. Uma estratégia prática é testar raízes inteiras pequenas (\pm1,\pm2) usando o Teorema do Resto (se r é raiz, então x-r é fator). Testando:
x=1:\quad 1^{3}-3\cdot1+2 = 1-3+2 = 0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é um fator. Fazendo a divisão ou fatorando, temos
x^{3}-3x+2 = (x-1)\bigl(x^{2}+x-2\bigr).
Agora fatoramos a quadrática x^{2}+x-2. Procuramos dois números cujo produto seja -2 e cuja soma seja 1; esses números são 2 e -1. Assim
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).
Portanto
x^{3}-3x+2 = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^{2}(x+2).
Passo 4
Para resolver a inequação (x-1)^{2}(x+2) > 0 fazemos uma análise do sinal dos fatores.
O fator (x-1)^{2} é um quadrado, portanto é sempre \ge 0 para todo x, e só é igual a 0 quando x=1. Como é quadrado (multiplicidade par da raiz x=1), seu sinal não muda ao atravessar x=1: ele fica sempre positivo, exceto zero em x=1.
O fator (x+2) é zero em x=-2, positivo para x>-2 e negativo para x<-2.
As raízes que anulam o polinômio são x=-2 e x=1. Essas raízes particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty). Vamos testar o sinal do produto em cada intervalo com um ponto representante: