Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se for convergente, calcule o limite.
(1 ponto)
e
se
.
(1 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com termo inicial
e recorrência
O que é pedido:
- Verificar se a sequência converge ou diverge.
- Se convergir, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas:
- O valor inicial
. - A regra de formação que adiciona
ou dependendo do paridade de , pois para ímpar e para par.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para notar um padrão (faça isso na prova para identificar comportamento):
Para
:
Para
:
Para
:
Observação: os termos calculados são
— a sequência parece alternar entre
e
.
Passo 3
Agora vamos provar que o padrão observado vale para todo
. Conjectura compacta:
Prova por recorrência simples (duas implicações em cadeia):
- Base: já vimos que
e . - Passo indutivo: suponha que para algum
vale . Então
Em seguida,
Assim, se
então
e
. Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo
.
Passo 4
Com a fórmula explícita, separamos a sequência em duas subsequências:
- Subsequência dos termos ímpares:
que é constante igual a , ou seja
Logo o limite desta subsequência é
:
- Subsequência dos termos pares:
que é constante igual a , ou seja
Logo o limite desta subsequência é
:
Passo 5
Agora aplicamos um fato básico sobre convergência de sequências: se uma sequência converge para um limite
, então todas as suas subsequências também convergem e todas convergem para o mesmo limite
.
Aqui temos duas subsequências que convergem, mas com limites diferentes:
Como
, os limites das subsequências não coincidem. Dessa forma a sequência original não pode convergir (se ela convergisse, os limites das subsequências teriam que ser iguais).
Passo 6
Conclusão e interpretação prática para a prova: a sequência é periódica de período
, alternando entre dois valores distintos. Uma sequência periódica que assume dois valores diferentes não pode ter limite (não se aproxima de um único número quando
). Portanto a sequência diverge (não converge).
Resposta
A sequência diverge (não converge).