Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se for convergente, calcule o limite.
(1 ponto) a_{1}=\pi e a_{n+1}=a_{n}+(-1)^{n} se n \geq 1.

Passo 1

O enunciado dá a sequência (a_n) com termo inicial a_{1}=\pi e recorrência
a_{n+1}=a_{n}+(-1)^{n},\qquad n\ge 1.
O que é pedido:
  • Verificar se a sequência converge ou diverge.
  • Se convergir, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • O valor inicial a_{1}=\pi.
  • A regra de formação que adiciona +1 ou -1 dependendo do paridade de n, pois (-1)^{n}= -1 para n ímpar e (-1)^{n}=+1 para n par.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para notar um padrão (faça isso na prova para identificar comportamento):
a_{1}=\pi.
Para n=1:
a_{2}=a_{1}+(-1)^{1}=\pi-1.
Para n=2:
a_{3}=a_{2}+(-1)^{2}=(\pi-1)+1=\pi.
Para n=3:
a_{4}=a_{3}+(-1)^{3}=\pi-1.
Observação: os termos calculados são \pi,\\ \pi-1,\\ \pi,\\ \pi-1,\dots — a sequência parece alternar entre \pi e \pi-1.

Passo 3

Agora vamos provar que o padrão observado vale para todo n. Conjectura compacta:
a_{2k-1}=\pi\quad\text{e}\quad a_{2k}=\pi-1\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.
Prova por recorrência simples (duas implicações em cadeia):
  • Base: já vimos que a_{1}=\pi e a_{2}=\pi-1.
  • Passo indutivo: suponha que para algum k vale a_{2k-1}=\pi. Então
a_{2k}=a_{2k-1}+(-1)^{2k-1}=\pi+(-1)^{\text{ímpar}}=\pi-1.í
Em seguida,
a_{2k+1}=a_{2k}+(-1)^{2k}=(\pi-1)+(-1)^{\text{par}}=(\pi-1)+1=\pi.
Assim, se a_{2k-1}=\pi então a_{2k}=\pi-1 e a_{2k+1}=\pi. Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo k.

Passo 4

Com a fórmula explícita, separamos a sequência em duas subsequências:
  • Subsequência dos termos ímpares: (a_{2k-1})_{k\ge1} que é constante igual a \pi, ou seja
a_{2k-1}=\pi\quad\text{para todo }k.
Logo o limite desta subsequência é \pi:
\lim_{k\to\infty} a_{2k-1}=\pi.
  • Subsequência dos termos pares: (a_{2k})_{k\ge1} que é constante igual a \pi-1, ou seja
a_{2k}=\pi-1\quad\text{para todo }k.
Logo o limite desta subsequência é \pi-1:
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=\pi-1.

Passo 5

Agora aplicamos um fato básico sobre convergência de sequências: se uma sequência converge para um limite L, então todas as suas subsequências também convergem e todas convergem para o mesmo limite L.
Aqui temos duas subsequências que convergem, mas com limites diferentes:
\lim_{k\to\infty} a_{2k-1}=\pi\qquad\text{e}\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k}=\pi-1.
Como \pi\neq\pi-1, os limites das subsequências não coincidem. Dessa forma a sequência original não pode convergir (se ela convergisse, os limites das subsequências teriam que ser iguais).

Passo 6

Conclusão e interpretação prática para a prova: a sequência é periódica de período 2, alternando entre dois valores distintos. Uma sequência periódica que assume dois valores diferentes não pode ter limite (não se aproxima de um único número quando n\to\infty). Portanto a sequência diverge (não converge).

Resposta

A sequência diverge (não converge).

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