Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Se verdadeiro, justifique. Se falso, dê um contraexemplo que mostra a falsidade da afirmação.
(1 ponto) Utilizando o teste da raiz, podemos concluir que uma
-série converge se, e somente se,
.
(1 ponto) Utilizando o teste da raiz, podemos concluir que uma
Passo 1
O enunciado afirma: “Utilizando o teste da raiz, podemos concluir que uma
-série converge se, e somente se,
.”
Informações dadas/claras no enunciado:
Informações dadas/claras no enunciado:
- Uma
-série é a série , com . - A afirmação diz que, usando o teste da raiz, seria possível concluir que a convergência dessa série acontece exatamente quando
.
A tarefa: dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar um contraexemplo que mostre a falsidade.
Passo 2
Recordando o que é o teste da raiz (enunciado do teste) e o que significa ser inconclusivo.
O teste da raiz diz: para uma série com termos reais (ou complexos), calcule
O teste da raiz diz: para uma série
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não dá informação sobre convergência).
É importante: quando o limite (ou limsup) vale, o teste da raiz não pode decidir se a série converge ou diverge — pode ocorrer qualquer um dos casos.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz à
-série
. Vamos calcular a
-ésima raiz do módulo do termo:
Para avaliar o limite quando
, escrevemos em forma exponencial:
Sabemos que
. Assim
Portanto, para qualquer
(qualquer valor de
), o valor
do teste da raiz é
.
Passo 4
Interpretação do cálculo: como o teste da raiz produz
para toda
, o teste é inconclusivo em todos esses casos; ele não permite decidir nem convergência nem divergência da
-série. Logo, afirmar que "utilizando o teste da raiz, podemos concluir que uma
-série converge se, e somente se,
" é incorreto — o teste da raiz não fornece essa conclusão.
Para construir um contraexemplo explícito que muestra a falsidade da afirmação, basta mostrar dois valores de
com comportamentos distintos (um convergente e outro divergente) para os quais o teste da raiz dá o mesmo resultado
:
- Tome
. A série é convergente (conhecida como convergente; pode-se justificar por comparação com a integral ou por testes clássicos). Ainda assim, para o teste da raiz dá . - Tome
. A série é divergente (por exemplo, por comparação com a integral). Ainda assim, para o teste da raiz também dá .
Esses dois casos mostram que o teste da raiz não distingue convergência de divergência para
-séries: portanto a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 5
(Aproveitando para ensinar rapidamente um método que de fato decide a convergência da
Se
e
quando
, logo a integral converge; por comparação série-integral, a série
converge. Se
, a integral diverge, e por comparação a série diverge. Assim obtemos a famosa condição: a
-série converge se, e somente se,
. Nota importante: essa conclusão NÃO veio do teste da raiz, mas do teste da integral (ou de outros testes como condensação de Cauchy).]
Resposta
Falso.