Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Se verdadeiro, justifique. Se falso, dê um contraexemplo que mostra a falsidade da afirmação.
(1 ponto) Utilizando o teste da raiz, podemos concluir que uma p-série converge se, e somente se, p>1.

Passo 1

O enunciado afirma: “Utilizando o teste da raiz, podemos concluir que uma p-série converge se, e somente se, p>1.”
Informações dadas/claras no enunciado:
  • Uma p-série é a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}, com p\in\mathbb{R}.
  • A afirmação diz que, usando o teste da raiz, seria possível concluir que a convergência dessa série acontece exatamente quando p>1.
    A tarefa: dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar um contraexemplo que mostre a falsidade.

Passo 2

Recordando o que é o teste da raiz (enunciado do teste) e o que significa ser inconclusivo.
O teste da raiz diz: para uma série \sum a_n com termos reais (ou complexos), calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não dá informação sobre convergência).
    É importante: quando o limite (ou limsup) vale 1, o teste da raiz não pode decidir se a série converge ou diverge — pode ocorrer qualquer um dos casos.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz à p-série \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{p}}. Vamos calcular a n-ésima raiz do módulo do termo:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{p}}}=\frac{1}{n^{p/n}}.
Para avaliar o limite quando n\to\infty, escrevemos em forma exponencial:
\frac{1}{n^{p/n}}=\exp\!\bigl(-\tfrac{p}{n}\ln n\bigr).
Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0. Assim
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\exp(0)=1.
Portanto, para qualquer p\in\mathbb{R} (qualquer valor de p), o valor L do teste da raiz é 1.

Passo 4

Interpretação do cálculo: como o teste da raiz produz L=1 para toda p, o teste é inconclusivo em todos esses casos; ele não permite decidir nem convergência nem divergência da p-série. Logo, afirmar que "utilizando o teste da raiz, podemos concluir que uma p-série converge se, e somente se, p>1" é incorreto — o teste da raiz não fornece essa conclusão.
Para construir um contraexemplo explícito que muestra a falsidade da afirmação, basta mostrar dois valores de p com comportamentos distintos (um convergente e outro divergente) para os quais o teste da raiz dá o mesmo resultado L=1:
  • Tome p=2. A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente (conhecida como convergente; pode-se justificar por comparação com a integral ou por testes clássicos). Ainda assim, para p=2 o teste da raiz dá L=1.
  • Tome p=\tfrac{1}{2}. A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}} é divergente (por exemplo, por comparação com a integral). Ainda assim, para p=\tfrac{1}{2} o teste da raiz também dá L=1.
Esses dois casos mostram que o teste da raiz não distingue convergência de divergência para p-séries: portanto a afirmação do enunciado é falsa.

Passo 5

(Aproveitando para ensinar rapidamente um método que de fato decide a convergência da p\)-série.) O teste mais simples e padrão para a \(p\)-série é o teste da integral. Considere a função \(f(x)=x^{-p}\) para \(x\ge1\). Avaliando a integral imprópria: \[\int_{1}^{\infty}x^{-p}\,dx= \begin{cases} \displaystyle\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty}, & p\neq 1,\\[6pt] \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\infty, & p=1. \end{cases}
Se p>1\], então \(1-p<0 e x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty, logo a integral converge; por comparação série-integral, a série \sum 1/n^{p} converge. Se p\le 1, a integral diverge, e por comparação a série diverge. Assim obtemos a famosa condição: a p-série converge se, e somente se, p>1. Nota importante: essa conclusão NÃO veio do teste da raiz, mas do teste da integral (ou de outros testes como condensação de Cauchy).]

Resposta

Falso.

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