QUESTÃO 01
Seja a função real f definida por f(x)=3^1+x+3^1-x
Analise as proposições quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.
( ) A função f é par.
( ) f(log 3(2-raiz3)) é igual a 12
( ) A equação f(x)=6 possui conjunto solução unitário.
Sobre as proposições, tem-se que
a) todas são falsas.
b) todas são verdadeiras.
c) apenas uma é verdadeira.
d) apenas duas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3^1+x+3^1-x
e pede para verificar três proposições: (i) se f é par, (ii) calcular fl(log3(2-raiz3)r) e (iii) resolver a equação f(x)=6. Vamos usar conceitos de paridade de função, propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Verificando a paridade:
f(-x)=3^1+(-x)+3^1-(-x)=3^1-x+3^1+x=f(x)
Como f(-x)=f(x) para todo x, concluímos que f é par (verdadeira).

Passo 3

Calcular fl(tr) com t=log3(2-raiz3). Note que
3^t=2-raiz3, 3^-t=12-raiz3=2+raiz3
Logo,
f(t)=3^1+t+3^1-t =3l(3^t+3^-tr) =3l((2-raiz3)+(2+raiz3)r) =3cdot4=12
Portanto a segunda proposição também é verdadeira.

Passo 4

Resolver f(x)=6:
3^1+x+3^1-x=6 ;Longrightarrow; 3l(3^x+3^-xr)=6 ;Longrightarrow; 3^x+3^-x=2
Seja y=3^x>0. Então
y+1y=2 ;Longrightarrow; y^2-2y+1=0 ;Longrightarrow; (y-1)^2=0 ;Longrightarrow; y=1 ;Longrightarrow; 3^x=1 ;Longrightarrow; x=0
Há exatamente uma solução ( x=0), logo essa proposição é verdadeira.

Passo 5

Como as três proposições são verdadeiras, a resposta é a alternativa
b) todas são verdadeiras.

Resposta

b) todas são verdadeiras.

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