Questão 01: (0,5) Seja a \in \mathbb{R} tal que a \neq 0. Prove que a^{-1} \neq 0.

Passo 1

O enunciado afirma que temos um número real a tal que a\neq 0 e pede para provar que o inverso multiplicativo de a, isto é a^{-1}, também não é zero.
Conteúdo: usaremos os axiomas de corpo real, em particular a existência do inverso multiplicativo, a propriedade de que 0 é elemento nulo (logo 0\cdot x=0) e o fato de que 1\neq 0.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que
a^{-1}=0.
Multiplicando ambos os lados por a, obtemos
a\cdot a^{-1} = a\cdot 0.
Pelo axioma do inverso multiplicativo, o lado esquerdo vale
a\cdot a^{-1}=1,
e pela propriedade do elemento nulo, o lado direito vale
a\cdot 0 = 0.
Logo chegamos a
1 = 0,
o que contradiz o axioma de corpo que garante 1\neq 0. Portanto a hipótese a^{-1}=0 é falsa.

Resposta

Portanto, a^{-1}\neq 0.

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