Questão 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contraexemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
( ) (5 pontos) A superfície de equação
representa um hiperboloide de duas folhas.
( ) (5 pontos) A superfície de equação
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
e pede que se julgue a afirmativa “essa superfície representa um hiperboloide de duas folhas” (verdadeiro ou falso), com justificativa lógica ou contraexemplo.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A equação completa da superfície é
. - A tarefa é determinar se essa equação descreve um hiperboloide de duas folhas ou não, fornecendo uma justificativa.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: organizar termos por variáveis e completar quadrados nas variáveis
e
. Agrupando,
Agora completo o quadrado em cada parêntese. Lembrando que completar quadrado usa a identidade
(ou escrita mais direta):
Passo 3
Substituo as expressões completadas na equação original:
Distribuindo os
e somando constantes:
Os termos constantes do lado esquerdo somam
, que cancela com o
do lado direito; portanto sobra apenas os termos quadráticos:
Passo 4
Reescrevo a equação de forma mais explícita:
Para interpretar geometricamente, faço uma mudança de escala nas coordenadas
e
. Definindo
obtemos a equação mais simples
ou equivalentemente
Passo 5
Análise geométrica da equação
:
- Essa é a equação de um cone duplo (cone de revolução em espaço tridimensional) com vértice no ponto correspondente a
. Voltando às coordenadas originais, o vértice é o ponto . - Para cada
(isto é, ) a interseção com o plano é uma circunferência de raio . Para a interseção é o único ponto (ou seja, ). Assim a superfície consiste de duas nappes (duas “partes”, uma para e outra para ) que se encontram precisamente no vértice — característica de um cone duplo. - Um hiperboloide de duas folhas, por outro lado, é uma superfície quadricônica não degenerada cujo lado direito da forma canônica é uma constante não nula e que tem duas componentes desconexas separadas por um “intervalo” onde a superfície não existe (não há vértice comum onde as duas folhas se encontram). Em particular, a presença do termo constante igual a zero (após completar quadrados) indica degenerescência da quadriculada (é um cone), não um hiperboloide não degenerado.
Passo 6
Conclusão técnica (sem dar a resposta final única pedida): a equação dada é equivalente à equação de um cone duplo com vértice em
, especificamente
Portanto a superfície é uma superfície cônica (um cone duplo), e não uma superfície do tipo hiperboloide de duas folhas (que seria uma quadriculada não degenerada com termo constante não nulo na forma canônica).
Resposta
Falso