Questão 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contraexemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
( ) (5 pontos) A superfície de equação 2 y^{2}+2 z^{2}-x^{2}-4 y+4 z=-4 representa um hiperboloide de duas folhas.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação
2 y^{2}+2 z^{2}-x^{2}-4 y+4 z=-4
e pede que se julgue a afirmativa “essa superfície representa um hiperboloide de duas folhas” (verdadeiro ou falso), com justificativa lógica ou contraexemplo.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação completa da superfície é 2 y^{2}+2 z^{2}-x^{2}-4 y+4 z=-4.
  • A tarefa é determinar se essa equação descreve um hiperboloide de duas folhas ou não, fornecendo uma justificativa.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: organizar termos por variáveis e completar quadrados nas variáveis y e z. Agrupando,
2\bigl(y^{2}-2y\bigr)+2\bigl(z^{2}+2z\bigr)-x^{2}=-4.
Agora completo o quadrado em cada parêntese. Lembrando que completar quadrado usa a identidade \,a^{2}+2ab=(a+b)^{2}-b^{2}\, (ou escrita mais direta):
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1,\qquad z^{2}+2z=(z+1)^{2}-1.

Passo 3

Substituo as expressões completadas na equação original:
2\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)+2\bigl((z+1)^{2}-1\bigr)-x^{2}=-4.
Distribuindo os 2 e somando constantes:
2(y-1)^{2}-2 + 2(z+1)^{2}-2 - x^{2} = -4.
Os termos constantes do lado esquerdo somam -4, que cancela com o -4 do lado direito; portanto sobra apenas os termos quadráticos:
2(y-1)^{2}+2(z+1)^{2}-x^{2}=0.

Passo 4

Reescrevo a equação de forma mais explícita:
x^{2}=2(y-1)^{2}+2(z+1)^{2}.
Para interpretar geometricamente, faço uma mudança de escala nas coordenadas y e z. Definindo
u = x,\qquad v=\sqrt{2}\,(y-1),\qquad w=\sqrt{2}\,(z+1),
obtemos a equação mais simples
u^{2}=v^{2}+w^{2},
ou equivalentemente
u^{2}-v^{2}-w^{2}=0.

Passo 5

Análise geométrica da equação u^{2}-v^{2}-w^{2}=0:
  • Essa é a equação de um cone duplo (cone de revolução em espaço tridimensional) com vértice no ponto correspondente a u=v=w=0. Voltando às coordenadas originais, o vértice é o ponto (x,y,z)=(0,1,-1).
  • Para cada u\neq 0 (isto é, x\neq 0) a interseção com o plano x=\text{const} é uma circunferência de raio |u|/\sqrt{2}. Para u=0 a interseção é o único ponto v=w=0 (ou seja, y=1,z=-1). Assim a superfície consiste de duas nappes (duas “partes”, uma para x>0 e outra para x<0) que se encontram precisamente no vértice — característica de um cone duplo.
  • Um hiperboloide de duas folhas, por outro lado, é uma superfície quadricônica não degenerada cujo lado direito da forma canônica é uma constante não nula e que tem duas componentes desconexas separadas por um “intervalo” onde a superfície não existe (não há vértice comum onde as duas folhas se encontram). Em particular, a presença do termo constante igual a zero (após completar quadrados) indica degenerescência da quadriculada (é um cone), não um hiperboloide não degenerado.

Passo 6

Conclusão técnica (sem dar a resposta final única pedida): a equação dada é equivalente à equação de um cone duplo com vértice em (0,1,-1), especificamente
x^{2}=2(y-1)^{2}+2(z+1)^{2}.
Portanto a superfície é uma superfície cônica (um cone duplo), e não uma superfície do tipo hiperboloide de duas folhas (que seria uma quadriculada não degenerada com termo constante não nulo na forma canônica).

Resposta

Falso

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