Questão 01) Seja V=f: f: R R. Qual dos seguintes conjuntos de
25 pontos funções NÃO é subespaço vetorial de V ?
a) A=f in V:(f(x))^3=f(x^3);
b) B=f in V: f(-pi)=f(pi);
c) C=f in V: f(pi)=0;
d) D=f in V: f é limitada .

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial de todas as funções de R em R e apresenta quatro subconjuntos em questão. Precisamos verificar qual deles NÃO satisfaz as condições de subespaço vetorial de V.

Passo 2

Lembrando as condições: para Usubseteq V ser subespaço, deve conter a função zero, ser fechado sob soma de funções e sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Analisando
A=fin V: (f(x))^3 = f(x^3) forall x
A função nula pertence a A, pois 0^3=0. Todavia, se f,gin A, em geral
(f+g)(x)^3 = f(x)^3 + g(x)^3 + 3,f(x)g(x)l(f(x)+g(x)r)
não coincide com
f(x^3)+g(x^3),
logo A não é fechado sob soma (nem sob multiplicação por escalar arbitrário). Portanto A não é subespaço.

Passo 4

Os demais conjuntos satisfazem os critérios:
B exige f(-pi)=f(pi), condição preservada por soma e escalar e válida para a função zero.
C exige f(pi)=0, também preservada.
D reúne funções limitadas, forma subespaço pois soma e escalar mantêm a limitação e o zero é limitado.

Resposta

a) A

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