Questão 01) Seja
. Qual dos seguintes conjuntos de
25 pontos funções NÃO é subespaço vetorial de V ?
a)
;
b)
;
c)
;
d)
é limitada
.
25 pontos funções NÃO é subespaço vetorial de V ?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as funções de
em
e apresenta quatro subconjuntos em questão. Precisamos verificar qual deles NÃO satisfaz as condições de subespaço vetorial de
.
Passo 2
Lembrando as condições: para
ser subespaço, deve conter a função zero, ser fechado sob soma de funções e sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Analisando
A função nula pertence a
, pois
. Todavia, se
, em geral
não coincide com
logo
não é fechado sob soma (nem sob multiplicação por escalar arbitrário). Portanto
não é subespaço.
Passo 4
Os demais conjuntos satisfazem os critérios:
B exige , condição preservada por soma e escalar e válida para a função zero.
C exige , também preservada.
D reúne funções limitadas, forma subespaço pois soma e escalar mantêm a limitação e o zero é limitado.
B exige
C exige
D reúne funções limitadas, forma subespaço pois soma e escalar mantêm a limitação e o zero é limitado.
Resposta
a) A