Seja a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z)
e considere a base canônica E de R^3 e a base
beta=v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1)
(a) Calcule as coordenadas de T(v1), T(v2) e T(v3) na base beta, ou seja, [T(vi)]beta para i=1,2,3.
Dica: Se A=(lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1), use A^-1=(ccc12 & 12 & -12 -12 & 12 & 12 12 & -12 & 12).
(1,5 ponto)
(b) Determine a matriz de T na base beta, isto é, [T]beta beta.
(0,75 ponto)
(c) Calcule as matrizes de mudança de base entre beta e E :
lfloor IrfloorE beta e lfloor Irfloorbeta E
Dica: calcule primeiro lfloor IrfloorE beta e, em seguida, use esse resultado para obter [I]beta E.
(0,75 ponto)

Passo 1

O enunciado pede (a) as coordenadas de T(vi) na base beta, (b) a matriz de T em beta e (c) as matrizes de mudança de base entre beta e a base canônica E. O conteúdo usado é a relação
[T(v)]beta=A^-1,[T(v)]E,
onde A é a matriz cujas colunas são os vetores de beta em coordenadas canônicas.

Passo 2

Calcular T(vi) na base canônica.
Para vec v1=(1,1,0):
T(1,1,0) = (1+1,;1+0,;1+0) = (2,1,1)
Para vec v2=(0,1,1):
T(0,1,1) = (0+1,;1+1,;0+1) = (1,2,1)
Para vec v3=(1,0,1):
T(1,0,1) = (1+0,;0+1,;1+1) = (1,1,2)

Passo 3

Escrever a matriz A (colunas = vec v1,vec v2,vec v3) e usar o inverso dado:
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , A^-1 = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12

Passo 4

Obter [T(vi)]beta = A^-1,T(vi):
Para T(v1)=(2,1,1):
A^-1211 =101
Para T(v2)=(1,2,1):
A^-1121 =110
Para T(v3)=(1,1,2):
A^-1112 =011

Passo 5

Montar a matriz de T em beta: as colunas são [T(v1)]beta,[T(v2)]beta,[T(v3)]beta.
[T]betabeta = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1

Passo 6

Calcular as matrizes de mudança de base.
[I] Ebeta tem colunas os vetores de beta em coordenadas canônicas:
[I] Ebeta = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
E
[I]beta E =l([I] Ebetar)^-1 = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12

Resposta

(a)
[T(v1)]beta=(1,0,1),
[T(v2)]beta=(1,1,0),
[T(v3)]beta=(0,1,1).
(b)
[T]betabeta = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1
(c)
[I] Ebeta = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , [I]beta E = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12

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