Questão 01. Sejam os vetores vec{u}=(8,0,6), \vec{v}=(-3,4,12). Determine:
\vec{u} \cdot \vec{u}

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(8,0,6) e \vec{v}=(-3,4,12). A pergunta que precisamos responder é: calcular \vec{u}\cdot\vec{u}.

Passo 2

Definição útil (aula rápida): o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores em \mathbb{R}^3 escritos como \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Explicando cada parte: a_1,a_2,a_3 são as componentes do vetor \vec{a} (os números que aparecem na tupla), e b_1,b_2,b_3 são as componentes do vetor \vec{b}. Para o caso especial de um vetor com ele mesmo vale
\vec{a}\cdot\vec{a}=a_1^2+a_2^2+a_3^2,
ou seja, o produto escalar de um vetor por si mesmo é a soma dos quadrados das suas componentes — isso dá o quadrado da norma do vetor: \vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^2.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de \vec{u}. Do enunciado pegamos:
u_1=8,\qquad u_2=0,\qquad u_3=6.

Passo 4

Aplicando a fórmula \vec{u}\cdot\vec{u}=u_1^2+u_2^2+u_3^2 calculamos cada termo:
u_1^2=8^2=64,\qquad u_2^2=0^2=0,\qquad u_3^2=6^2=36.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{u}=64+0+36=100.

Passo 5

Interpretação rápida e motivadora: o resultado \vec{u}\cdot\vec{u}=100 também nos diz que a norma de \vec{u} é \|\vec{u}\|=\sqrt{100}=10. Então o vetor \vec{u} tem comprimento 10 no espaço.

Resposta

100

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