Questão 01. Sejam os vetores vec{u}=(8,0,6), \vec{v}=(-3,4,12). Determine:
\vec{v} \cdot \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede o produto escalar entre eles. Informações fornecidas:
  • \vec{u} = (8,0,6).
  • \vec{v} = (-3,4,12).
    O que se pede: calcular \vec{v} \cdot \vec{u}.

Passo 2

Definição e ideia do produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^3.
  • Seja \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) e \vec{b} = (b_1,b_2,b_3). O produto escalar é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a i-ésima componente dos vetores \vec{a} e \vec{b}.
  • Interpretação geométrica (útil para checar respostas): também vale
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde |\vec{a}| é o comprimento (norma) de \vec{a}, |\vec{b}| é a norma de \vec{b} e \theta é o ângulo entre eles. Isso explica por que o produto escalar positivo indica ângulo agudo, negativo indica obtuso e zero indica ortogonalidade.
  • Propriedades rápidas que ajudam na conta: o produto escalar é comutativo,
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a},
e linear em cada argumento (distribui sobre soma e fator constante).

Passo 3

Aplicando a definição diretamente aos vetores dados.
Primeiro identifique as componentes:
  • Para \vec{u}=(8,0,6) tem-se u_1=8, u_2=0, u_3=6.
  • Para \vec{v}=(-3,4,12) tem-se v_1=-3, v_2=4, v_3=12.
Agora calcule
\vec{v}\cdot\vec{u}=v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3=(-3)\cdot 8 + 4\cdot 0 + 12\cdot 6.
Faça as multiplicações passo a passo:
(-3)\cdot 8 = -24,\qquad 4\cdot 0 = 0,\qquad 12\cdot 6 = 72.
Some os resultados:
-24 + 0 + 72 = 48.

Passo 4

Checagem rápida usando a interpretação geométrica (opcional, mas bom para conferir):
Calcule as normas:
|\vec{u}|=\sqrt{8^2+0^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10,
|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13.
Seja \theta o ângulo entre eles. Então
\cos\theta=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{|\vec{v}|\,|\vec{u}|}=\frac{48}{13\cdot 10}=\frac{48}{130}=\frac{24}{65}\approx 0{,}369.
Como \cos\theta>0, o Ângulo é agudo — isso bate com o produto escalar positivo que encontramos.

Resposta

48

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