Questão 01. Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
\oint_{\gamma} y^{2} d x-2 x^{2} d y, onde \gamma é um retângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,2) e ( 0,2 ), no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{\gamma} y^{2}\,dx - 2x^{2}\,dy,
onde \gamma é o contorno do retângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,2),(0,2), percorrido no sentido anti-horário.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar no formato P\,dx+Q\,dy tem P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=-2x^{2}.
  • A região R limitada por \gamma é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.
  • O sentido anti-horário corresponde à orientação positiva exigida pelo Teorema de Green.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Green (forma usada aqui): para uma curva fechada simples \gamma e a região R que ela encierra,
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicação curta e intuitiva: o Teorema de Green transforma uma integral de linha ao redor de uma região em uma integral dupla sobre a própria região, usando a diferença entre as derivadas parciais de Q e P. Isso costuma simplificar bastante o cálculo quando a região é simples (como um retângulo).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x^{2})=-4x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Portanto o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -4x - 2y.
Pequena observação didática: ao derivar -2x^{2} em relação a x usa-se a regra da potência, obtendo -2\cdot 2x=-4x. Ao derivar y^{2} em relação a y obtém-se 2y.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o retângulo R:
\oint_{\gamma} y^{2}\,dx - 2x^{2}\,dy = \iint_{R} (-4x-2y)\,dA.
Como R é o retângulo \{0\le x\le1,\;0\le y\le2\}, escrevemos explicitamente a integral iterada (escolhendo integrar primeiro em y):
\iint_{R} (-4x-2y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2}(-4x-2y)\,dy\right)dx.
Comentário didático: escolher a ordem dy\,dx é natural aqui porque os limites em y são constantes 0 a 2; poderia-se trocar sem alterar o resultado.

Passo 5

Calcular a integral interna em y. Antiderivada em relação a y:
\int (-4x-2y)\,dy = -4x\cdot y - y^{2} + C.
Avaliar de y=0 a y=2:
\left[-4x\cdot y - y^{2}\right]_{0}^{2} = (-4x\cdot 2 - 2^{2}) - (0) = -8x - 4.
Portanto a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{1} (-8x-4)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em x. Antiderivada em relação a x:
\int (-8x-4)\,dx = -4x^{2} - 4x + C.
Avaliar de x=0 a x=1:
\left[-4x^{2}-4x\right]_{0}^{1} = (-4\cdot 1^{2} - 4\cdot 1) - 0 = -4 - 4 = -8.

Passo 7

Interpretação final e recado amigo: a integral de linha pedida vale -8. Ótimo — aplicando o Teorema de Green evitamos parametrizar cada aresta do retângulo e poupamos trabalho. Se quiser, depois eu mostro também como fazer parametrizando cada lado para conferir o resultado, mas por agora guarde esse caminho porque é o mais prático em provas quando a região é simples.

Resposta

-8

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