Questão 01. Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
, onde
é um retângulo de vértices
e ( 0,2 ), no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é o contorno do retângulo com vértices
, percorrido no sentido anti-horário.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar no formato
tem e . - A região
limitada por é o retângulo . - O sentido anti-horário corresponde à orientação positiva exigida pelo Teorema de Green.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Green (forma usada aqui): para uma curva fechada simples
e a região
que ela encierra,
Explicação curta e intuitiva: o Teorema de Green transforma uma integral de linha ao redor de uma região em uma integral dupla sobre a própria região, usando a diferença entre as derivadas parciais de
e
. Isso costuma simplificar bastante o cálculo quando a região é simples (como um retângulo).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando do Teorema de Green:
Portanto o integrando fica
Pequena observação didática: ao derivar
em relação a
usa-se a regra da potência, obtendo
. Ao derivar
em relação a
obtém-se
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o retângulo
:
Como
é o retângulo
, escrevemos explicitamente a integral iterada (escolhendo integrar primeiro em
):
Comentário didático: escolher a ordem
é natural aqui porque os limites em
são constantes
a
; poderia-se trocar sem alterar o resultado.
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Antiderivada em relação a
:
Avaliar de
a
:
Portanto a integral dupla reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral em
. Antiderivada em relação a
:
Avaliar de
a
:
Passo 7
Interpretação final e recado amigo: a integral de linha pedida vale
. Ótimo — aplicando o Teorema de Green evitamos parametrizar cada aresta do retângulo e poupamos trabalho. Se quiser, depois eu mostro também como fazer parametrizando cada lado para conferir o resultado, mas por agora guarde esse caminho porque é o mais prático em provas quando a região é simples.