seja
o campo de velocidades de un fluido. Define-se a circulaciào de
ao longo de una curva fechada
como
. A circulaçâo é una medida da tendência de fluida de circular ao longo de
. Calcule a circulaciño de
ao lango da curva
em cada um dos seguintes casos:
o mesmo
anterior, sendo
o quadrado de vértices
,
e
, percorrido no sentido anti-horário;
o mesmo
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a circulação
do campo de velocidades
ao longo da curva fechada
que é o quadrado de vértices
,
,
,
, percorrido no sentido anti-horário.
Informações que o enunciado dá:
- A curva
é o contorno do retângulo/quadrado com variando de a e variando de a , percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva). - Pede-se a circulação
dessa curva.
Informação que falta (essencial):
- O enunciado refere-se a “o mesmo
anterior”, mas esse campo não foi fornecido aqui. Sem conhecer explicitamente (ou suas componentes), não é possível calcular um valor numérico para .
Conclusão deste passo: não há dados suficientes para um número final; porém posso ensinar passo a passo como calcular
assim que
(suas componentes) for fornecido, e mostrar fórmulas práticas que servem na prova.
Passo 2
Definição e notação útil. Escrevemos o campo em componentes:
onde
e
são as componentes escalares em
e
. A circulação pela curva
é então a integral de linha
Explicando devagar:
e
são os deslocamentos infinitesimais ao longo da curva; ao fazer
e integrar ao longo de
somamos a contribuição do campo tangencial ao caminho — isso mede a tendência do fluido em “empurrar” ao longo de
.
Passo 3
Ferramenta prática (muito usada em provas): Teorema de Green (caso plano). Se
é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário) que limita a região
, então
O que isso significa: em vez de calcular 4 integrais de linha (um por lado do quadrado), pode-se integrar sobre a área
do quadrado a função
(essa diferença é a componente escalar do rotacional em 2D). A orientação anti-horária é a orientação positiva exigida pelo Teorema de Green.
Passo 4
Aplicando Green ao nosso caso: aqui
é o retângulo
. Assim, em termos práticos
Observação prática: para calcular esse integral é preciso conhecer
e
, portanto é necessário saber
e
.
Passo 5
Método alternativo (quando não usar Green): parametrize lado a lado. Pode ser útil na prova para entender o que está a acontecer ou se o campo tem forma simples. Parametrizações (sentido anti-horário):
- Lado
(de a ): . Contribuição: . - Lado
(de a ): . Contribuição: . - Lado
(de a ): . Contribuição: . - Lado
(de a ): . Contribuição: .
Somando as quatro contribuições obtemos (forma prática)
Essa expressão é totalmente equivalente à integral dupla do passo anterior (pode-se provar integrando por partes e usando o Teorema Fundamental do Cálculo).
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (útil na prova): suponha, só como exemplo,
. Então
e
. Calcula-se
logo
. Pelo Teorema de Green
Esse exemplo mostra como, com um campo simples, o cálculo fica direto: basta achar a diferença das derivadas parciais e multiplicar pela área (quando essa diferença for constante).
Passo 7
Conclusão prática (o que você deve fazer na prova):
- Se o campo
for dado por , use imediatamente Green e calcule
porque é quase sempre mais rápido do que computar cada lado separadamente.
- Se o campo não for suave ou a região for estranha, faça a parametrização lado a lado como no passo anterior.
- No caso real do seu enunciado aqui, não posso dar um número final porque o campo
não foi fornecido.
Resposta
Não é possível fornecer um valor numérico porque o campo
não foi informado. Em termos gerais,
onde
e
.