seja vec{v}(vec{r}) o campo de velocidades de un fluido. Define-se a circulaciào de vec{v} ao longo de una curva fechada vec{G} como Gamma=\oint_{\vec{G}} \vec{v} \cdot d \vec{r}. A circulaçâo é una medida da tendência de fluida de circular ao longo de G. Calcule a circulaciño de vec{v} ao lango da curva G em cada um dos seguintes casos:
o mesmo vec{v}(x, y) anterior, sendo G o quadrado de vértices A(1,0), B(3,0), C(3,3) e D(1,3), percorrido no sentido anti-horário;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a circulação \Gamma=\oint_{\vec G}\vec v\cdot d\vec r do campo de velocidades \vec v(x,y) ao longo da curva fechada \vec G que é o quadrado de vértices A(1,0), B(3,0), C(3,3), D(1,3), percorrido no sentido anti-horário.
Informações que o enunciado dá:
  • A curva \vec G é o contorno do retângulo/​quadrado com x variando de 1 a 3 e y variando de 0 a 3, percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva).
  • Pede-se a circulação \Gamma dessa curva.
Informação que falta (essencial):
  • O enunciado refere-se a “o mesmo \vec v(x,y) anterior”, mas esse campo \vec v(x,y) não foi fornecido aqui. Sem conhecer explicitamente \vec v (ou suas componentes), não é possível calcular um valor numérico para \Gamma.
Conclusão deste passo: não há dados suficientes para um número final; porém posso ensinar passo a passo como calcular \Gamma assim que \vec v (suas componentes) for fornecido, e mostrar fórmulas práticas que servem na prova.

Passo 2

Definição e notação útil. Escrevemos o campo em componentes:
\vec v(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr),
onde P e Q são as componentes escalares em x e y. A circulação pela curva \vec G é então a integral de linha
\Gamma=\oint_{\vec G}\vec v\cdot d\vec r=\oint_{\vec G}P\,dx+Q\,dy.
Explicando devagar: dx e dy são os deslocamentos infinitesimais ao longo da curva; ao fazer P\,dx+Q\,dy e integrar ao longo de \vec G somamos a contribuição do campo tangencial ao caminho — isso mede a tendência do fluido em “empurrar” ao longo de \vec G.

Passo 3

Ferramenta prática (muito usada em provas): Teorema de Green (caso plano). Se \vec G é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário) que limita a região D, então
\oint_{\vec G}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
O que isso significa: em vez de calcular 4 integrais de linha (um por lado do quadrado), pode-se integrar sobre a área D do quadrado a função \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y (essa diferença é a componente escalar do rotacional em 2D). A orientação anti-horária é a orientação positiva exigida pelo Teorema de Green.

Passo 4

Aplicando Green ao nosso caso: aqui D é o retângulo \{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\;0\le y\le 3\}. Assim, em termos práticos
\Gamma=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA =\int_{x=1}^{3}\int_{y=0}^{3}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\right)\,dy\,dx.
Observação prática: para calcular esse integral é preciso conhecer \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}, portanto é necessário saber P e Q.

Passo 5

Método alternativo (quando não usar Green): parametrize lado a lado. Pode ser útil na prova para entender o que está a acontecer ou se o campo tem forma simples. Parametrizações (sentido anti-horário):
  • Lado AB (de (1,0) a (3,0)): \vec r(t)=(t,0),\;t\in[1,3]. Contribuição: \displaystyle\int_{1}^{3}P(x,0)\,dx.
  • Lado BC (de (3,0) a (3,3)): \vec r(t)=(3,t),\;t\in[0,3]. Contribuição: \displaystyle\int_{0}^{3}Q(3,y)\,dy.
  • Lado CD (de (3,3) a (1,3)): \vec r(t)=(t,3),\;t\in[3,1]. Contribuição: \displaystyle\int_{3}^{1}P(x,3)\,dx=-\int_{1}^{3}P(x,3)\,dx.
  • Lado DA (de (1,3) a (1,0)): \vec r(t)=(1,t),\;t\in[3,0]. Contribuição: \displaystyle\int_{3}^{0}Q(1,y)\,dy=-\int_{0}^{3}Q(1,y)\,dy.
Somando as quatro contribuições obtemos (forma prática)
\Gamma=\int_{1}^{3}\bigl(P(x,0)-P(x,3)\bigr)\,dx+\int_{0}^{3}\bigl(Q(3,y)-Q(1,y)\bigr)\,dy.
Essa expressão é totalmente equivalente à integral dupla do passo anterior (pode-se provar integrando por partes e usando o Teorema Fundamental do Cálculo).

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (útil na prova): suponha, só como exemplo, \vec v(x,y)=(-y,\,x). Então P(x,y)=-y e Q(x,y)=x. Calcula-se
\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-1,
logo \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2. Pelo Teorema de Green
\Gamma=\iint_{D}2\,dA=2\cdot\text{Area}(D)=2\cdot\bigl(3-1\bigr)\cdot\bigl(3-0\bigr)=2\cdot 2\cdot 3=12.
Esse exemplo mostra como, com um campo simples, o cálculo fica direto: basta achar a diferença das derivadas parciais e multiplicar pela área (quando essa diferença for constante).

Passo 7

Conclusão prática (o que você deve fazer na prova):
  • Se o campo \vec v for dado por \vec v=(P,Q), use imediatamente Green e calcule
\Gamma=\int_{1}^{3}\int_{0}^{3}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dy\,dx,
porque é quase sempre mais rápido do que computar cada lado separadamente.
  • Se o campo não for suave ou a região for estranha, faça a parametrização lado a lado como no passo anterior.
  • No caso real do seu enunciado aqui, não posso dar um número final porque o campo \vec v não foi fornecido.

Resposta

Não é possível fornecer um valor numérico porque o campo \vec v(x,y) não foi informado. Em termos gerais,
\Gamma=\oint_{\vec G}\vec v\cdot d\vec r =\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA =\int_{1}^{3}\int_{0}^{3}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\right)\,dy\,dx,
onde \vec v=(P,Q) e D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\\\ 0\le y\le 3\}.

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