QUESTÃO 01 (VALOR 5,0) - Um tubo de aço com 5 cm de diâmetro interno e 8 cm de diâmetro externo, tendo \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, está recoberto por uma camada de isolante cujo \mathrm{k}=0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. Um gás aquecido a T=350{ }^{\circ} \mathrm{C} flui no interior do tubo. A superficie externa do isolamento está exposta ao ar à \mathrm{T}=30^{\circ} \mathrm{C}.O coeficiente de convecção interno de \mathrm{h}_{i}=200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.K e a perda de calor total do tubo para o ar ao longo de 10 m de comprimento do tubo é de 10 kW . Considerando somente a condução e a convecção interna e desprezando a radiação e a convecção externa, calcule a espessura, em cm, do material isolante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a espessura do isolante (em cm) sabendo que a perda de calor total ao longo de 10 m é 10 kW. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro interno do tubo: d_i=5\\ \text{cm}.
  • Diâmetro externo do tubo de aço: d_o=8\\ \text{cm}.
  • Condutividade térmica do aço: k_{\text{aço}}=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}ç.
  • Condutividade térmica do isolante: k_{\text{iso}}=0,2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura do gás no interior: T_g=350{}^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_a=30{}^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção interno: h_i=200\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Comprimento do tubo: L=10\\ \text{m}.
  • Perda de calor total ao longo do comprimento L: Q_{\text{total}}=10\\ \text{kW}=10000\\ \mathrm{W}.
Pergunta a responder: determinar a espessura do isolante (em cm).
Observação do enunciado: considerar somente condução (no material) e convecção interna; desprezar radiação e convecção externa. (Na prática isso permite usar T_a como temperatura fixa no exterior do isolante — isto é, a resistência externa é desprezível.)

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo (isto facilita usar resistências por metro).
A perda total é Q_{\text{total}}=10000\\ \mathrm{W} ao longo de L=10\\ \mathrm{m}, então a taxa por metro é
q'=\frac{Q_{\text{total}}}{L}=\frac{10000}{10}=1000\\ \mathrm{W/m}.
Também definimos os raios internos e externos do tubo:
r_i=\frac{d_i}{2}=\frac{0{,}05}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m},\qquad r_o=\frac{d_o}{2}=\frac{0{,}08}{2}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
A diferença de temperatura disponível é
\Delta T=T_g-T_a=350-30=320\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Modelo de resistências térmicas em série (por metro de comprimento): convecção interna \Rightarrow condução radial no aço \Rightarrow condução radial no isolante \Rightarrow temperatura exterior fixa T_a.
A lei que liga q', \Delta T e resistência total R_{\text{tot}} é
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}.
Vamos calcular a resistência convectiva interna por metro:
a área interna por metro é A_i=2\pi r_i\cdot 1. A resistência convectiva por metro é
R_{\text{conv,int}}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{h_i (2\pi r_i)}.
Substituindo números:
R_{\text{conv,int}}=\frac{1}{200\cdot(2\pi\cdot0{,}025)}.
Calcule:
2\pi r_i=2\pi\cdot0{,}025\approx0{,}1570796\\ \mathrm{m}, \qquad h_i(2\pi r_i)\approx200\cdot0{,}1570796\approx31{,}415926.
Logo
R_{\text{conv,int}}\approx\frac{1}{31{,}415926}\approx0{,}03183099\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Agora a resistência por condução em uma casca cilíndrica (usada tanto para o aço quanto para o isolante). Explicando a fórmula (passo-a-passo didático):
Considere condução radial estacionária em um cilindro de raio entre r_1 e r_2, comprimento L. A área que conduz é A(r)=2\pi r L. A lei de Fourier em coordenadas radiais leva a
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2\pi k L}\cdot\frac{1}{r},
onde \dot{q} é a potência total (por comprimento L usamos q'=\dot{q}/L). Integrando de r_1 a r_2 obtém-se a queda de temperatura
\Delta T = q' \cdot \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k}.
Assim a resistência térmica por metro para a casca cilíndrica é
R_{\text{cond}}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k}.
Aplicamos isso ao aço (entre r_i e r_o):
R_{\text{aço}}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k_{\text{aço}}} =\frac{\ln(0{,}04/0{,}025)}{2\pi\cdot15}.çç
Calcule:
\frac{0{,}04}{0{,}025}=1{,}6,\qquad \ln(1{,}6)\approx0{,}47000363,
2\pi k_{\text{aço}}=2\pi\cdot15\approx94{,}24778,ç
R_{\text{aço}}\approx\frac{0{,}47000363}{94{,}24778}\approx0{,}0049889\\ \mathrm{K/W}.ç

Passo 5

Denotando o raio externo do isolante por r_2 (ou seja r_2=r_o+t, onde t é a espessura buscada), a resistência do isolante por metro é
R_{\text{iso}}=\frac{\ln(r_2/r_o)}{2\pi k_{\text{iso}}}.
A resistência total por metro é
R_{\text{tot}}=R_{\text{conv,int}}+R_{\text{aço}}+R_{\text{iso}}.ç
Mas também \displaystyle R_{\text{tot}}=\frac{\Delta T}{q'}=\frac{320}{1000}=0{,}32\\ \mathrm{K/W}.
Portanto isolamos R_{\text{iso}}:
R_{\text{iso}}=R_{\text{tot}}-R_{\text{conv,int}}-R_{\text{aço}}.ç
Substituindo os valores numéricos já calculados:
R_{\text{iso}}=0{,}32-0{,}03183099-0{,}0049889\approx0{,}28318012\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Agora relacionamos R_{\text{iso}} com r_2:
\frac{\ln(r_2/r_o)}{2\pi k_{\text{iso}}}=0{,}28318012.
Isolando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_o}\right)=R_{\text{iso}}\cdot 2\pi k_{\text{iso}}.
Calcule o lado direito:
2\pi k_{\text{iso}}=2\pi\cdot0{,}2\approx1{,}25663706,
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_o}\right)\approx0{,}28318012\cdot1{,}25663706\approx0{,}3560000.
Logo
\frac{r_2}{r_o}=e^{0{,}3560000}\approx1{,}427087.
Portanto
r_2=r_o\cdot1{,}427087\approx0{,}04\cdot1{,}427087\approx0{,}0570835\\ \mathrm{m}.
A espessura do isolante é
t=r_2-r_o\approx0{,}0570835-0{,}04=0{,}0170835\\ \mathrm{m}=1{,}70835\\ \text{cm}.

Passo 7

Arredondando de modo prático para a prova (duas casas decimais em cm), a espessura do isolante é aproximadamente 1{,}71\\ \text{cm}. Para checar mentalmente: com essa espessura o R_iso calculado produz, somado às outras resistências, R_{\text{tot}}\approx0{,}32\\ \mathrm{K/W}, o que dá q'=\Delta T/R_{\text{tot}}\approx1000\\ \mathrm{W/m}, compatível com os 10\\ \text{kW} em 10 m pedidos no enunciado.

Resposta

1{,}71\\ \text{cm}

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