QUESTÃO 02 (VALOR 5,0) Um vaso esférico, usado como reator para produzir fármacos, tem uma parede de aço inoxidável (\mathrm{k}=17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}) com 10 mm de espessura e diâmetro interno de 1 m . A superficie externa do vaso é exposta ao ar ambiente, \mathrm{T}_{\mathrm{ar}}=20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura da superficie interna é de 50^{\circ} \mathrm{C} e da superfície externa desse vaso é de 30^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando a convecção interna, determine a taxa de transferência de calor por radiação que atua na parte externa desse vaso, em kW.
Dados: Aesfera =4 \pi R^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor por radiação que atua na superfície externa do vaso. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • condutividade térmica do aço inox: k=17\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • espessura da parede: L=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro interno do vaso: D_{\text{int}}=1{,}00\\ \mathrm{m}\Rightarrow raio interno R_{\text{int}}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • temperatura da superfície interna: T_{\text{int,sup}}=50{,}^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura da superfície externa: T_{\text{ext,sup}}=30{,}^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura do ar ambiente: T_{\text{ar}}=20{,}^\circ\mathrm{C}.
  • área de uma esfera: A_{\text{esfera}}=4\pi R^{2}.
O que é pedido:
  • a taxa de transferência de calor por radiação que atua na parte externa do vaso (valor numérico em kW).
Observação importante (decisão necessária, já que não foi dada no enunciado):
  • Não foi informada a emis­sividade da superfície externa. Para poder calcular a troca radiativa usando a lei de Stefan–Boltzmann, é preciso um valor de emis­sividade \varepsilon. Como o enunciado não fornece \varepsilon, vou assumir, para esta resolução, o caso mais simples e conservador: superfície perfeitamente negra ( \varepsilon=1). Se \varepsilon for fornecida, basta multiplicar o resultado por \varepsilon. Vou explicitar isso mais adiante.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que usaremos.
A taxa de perda (ou ganho) de calor por radiação entre uma superfície e um ambiente grande pode ser calculada, para um corpo gray-isotrópico, por
\dot{Q}_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\right),
onde:
  • \dot{Q}_{\text{rad}} é a taxa de transferência de calor por radiação (W), positiva se o corpo perde calor para o ambiente;
  • \varepsilon é a emis­sividade da superfície (adimensional, 0\le\varepsilon\le1);
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • A é a área radiante da superfície (m^{2});
  • T_s é a temperatura da superfície em kelvin (K);
  • T_{\infty} é a temperatura do entorno em kelvin (K).
Explicação intuitiva curta: a radiação emitida por um corpo cresce com a quarta potência da sua temperatura absoluta; o termo \left(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\right) é o saldo entre emissão e absorção do ambiente.
Como queremos a radiação que atua na parte externa, usaremos T_s=T_{\text{ext,sup}} e T_{\infty}=T_{\text{ar}}. A área A será a área externa da esfera com raio externo R_{\text{ext}}=R_{\text{int}}+L.

Passo 3

Conversão de temperaturas para kelvin e cálculo do raio externo.
Converter temperaturas:
T_{\text{ext,sup}}=30{,}^\circ\mathrm{C}=30+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{ar}}=20{,}^\circ\mathrm{C}=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular o raio externo:
R_{\text{ext}}=R_{\text{int}}+L=0{,}50+0{,}01=0{,}51\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da área externa da esfera.
Usando A_{\text{esfera}}=4\pi R^{2} com R=R_{\text{ext}}=0{,}51\\ \mathrm{m},
A=4\pi R_{\text{ext}}^{2}=4\pi(0{,}51)^{2}.
Calculemos numericamente:
(0{,}51)^{2}=0{,}2601,
A=4\pi\times0{,}2601=1{,}0404\pi\approx 3{,}2680\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Cálculo do termo \left(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\right) e do fluxo radiativo por unidade de área.
Calcular as potências quarta:
T_s^{4}= (303{,}15)^{4},\qquad T_{\infty}^{4}=(293{,}15)^{4}.
Para evitar arredondamentos precoces, calcula-se a diferença direta (procedimento mostrado apenas numericamente aqui):
T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\approx 1{,}0604411067\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
Agora o fator \sigma\left(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\right):
\sigma\left(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\right) =5{,}670374419\times10^{-8}\times1{,}0604411067\times10^{9} \approx 60{,}14\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Este número representa a potência radiativa líquida por metro quadrado para um corpo negro à 30{,}^\circ\mathrm{C} num ambiente a 20{,}^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo da taxa total de calor por radiação e conversão para kW.
Assumindo \varepsilon=1 (superfície negra, pois \varepsilon não foi fornecida), aplica-se
\dot{Q}_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\right) =1\times 60{,}14\times 3{,}2680\\ \mathrm{W}.
Multiplicando:
\dot{Q}_{\text{rad}}\approx 196{,}6\\ \mathrm{W}.
Converter para kW:
\dot{Q}_{\text{rad}}\approx 0{,}1966\\ \mathrm{kW}.
Observação final (didática): se a emis­sividade real da superfície for conhecida ( \varepsilon<1), basta multiplicar este resultado por \varepsilon. Por exemplo, para aço inoxidável polido ( \varepsilon\approx0{,}2) a perda radiativa seria \approx0{,}0393\\ \mathrm{kW}.

Resposta

0{,}1966\\ \mathrm{kW}

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