Considere o escoamento incompressível, sem atrito de água em uma tubulação vertical. A pressão é de 240 kPa a 2 m do nível do solo. A velocidade da água não se altera durante este escoamento. Qual a pressão a 15 m do nível do solo? A massa específica da água é igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. (R: 112 kPa )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Informação dada:
    • A pressão a z_1 = 2\\ \mathrm{m} do nível do solo é p_1 = 240\\ \mathrm{kPa}.
    • A massa específica da água é \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • A velocidade do escoamento não se altera entre os pontos (mesma velocidade).
    • Não há atrito (escoamento ideal, sem perdas).
    • A aceleração da gravidade usada será g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a pressão p_2 a z_2 = 15\\ \mathrm{m} do nível do solo.

Passo 2

Apresento a fórmula física que vamos usar e explico cada termo (aula rápida e direta).
A equação de Bernoulli para escoamento incompressível e sem atrito entre dois pontos é
p + \rho g z + \tfrac{1}{2}\rho v^2 = \text{constante}
onde:
  • p é a pressão estática no ponto (unidades: \mathrm{Pa}),
  • \rho é a massa específica do fluido (unidades: \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (unidades: \mathrm{m/s^2}),
  • z é a elevação vertical do ponto medida a partir de um referencial (unidades: \mathrm{m}),
  • v é a velocidade do fluido naquele ponto (unidades: \mathrm{m/s}).
Intuitivamente: a soma da pressão, da pressão hidrostática \rho g z e da pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho v^2 é a mesma ao longo de uma linha de corrente quando não há perdas.

Passo 3

Simplificação apropriada ao problema (por isso escolhemos Bernoulli):
  • O enunciado diz que a velocidade não se altera entre os pontos, logo v_1 = v_2. Assim os termos \tfrac{1}{2}\rho v^2 se cancelam entre os pontos.
  • Não há atrito, então não introduzimos termos de perda.
Com isso, a equação reduz para a conservação entre os dois pontos:
p_1 + \rho g z_1 = p_2 + \rho g z_2
Rearranjando para encontrar p_2:
p_2 = p_1 + \rho g (z_1 - z_2)

Passo 4

Agora vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro calculemos a diferença de altura:
z_1 - z_2 = 2 - 15 = -13\\ \mathrm{m}.
O sinal negativo indica que o ponto 2 está mais alto, então esperamos uma pressão menor em z_2.
Calculemos o termo \rho g (z_1 - z_2):
\rho g (z_1 - z_2) = 1000\cdot 9{,}81 \cdot (-13)\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Fazendo a multiplicação passo a passo (mantendo unidades):
1000\cdot 9{,}81 \cdot 13 = 1000 \cdot (9{,}81\cdot 13).
Calcule 9{,}81\cdot 13:
9{,}81\cdot 13 = 127{,}53.
Então
\rho g (z_2 - z_1) = 127{,}53\\ \mathrm{kPa}
porque 127{,}53\\ \mathrm{kPa} = 127{,}53\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}. Como z_1-z_2=-13, temos
\rho g (z_1 - z_2) = -127{,}53\\ \mathrm{kPa}.
Agora calcule p_2:
p_2 = p_1 + \rho g (z_1 - z_2) = 240\\ \mathrm{kPa} - 127{,}53\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Subtraindo:
240 - 127{,}53 = 112{,}47\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando para três algarismos significativos (ou para o inteiro, conforme resposta esperada), obtemos
p_2 \approx 112\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

112\\ \mathrm{kPa}

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