Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) Os valores críticos de uma função são pontos em que f ’ e f " se anulam ou não existem

Passo 1

O enunciado apresenta a afirmação: “Os valores críticos de uma função são pontos em que f' e f'' se anulam ou não existem” e pede que eu diga se isso é Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique.
Informações dadas: a afirmação fala de “valores críticos” relacionando ambas as derivadas f' e f''.
O que é pedido: decidir V ou F e explicar por que.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que normalmente se entende por “valor crítico” ou “ponto crítico” (não invente nome diferente na prova — eu explico o uso mais comum). A definição padrão que você deverá usar na prova é: um ponto c do domínio de f é um ponto crítico (ou estacionário) se
f'\text{(c)}=0 \quad\text{ou}\quad f'\text{ não existe em }c.ã
Explicando devagar: f' é a derivada de f. Dizer que f'\text{(c)}=0 significa que a inclinação da reta tangente em x=c é zero (gráficamente, uma “platô” ou topo/vale local). Dizer que f' não existe em c significa que a derivada não está definida aí (por exemplo, canto, quina ou descontinuidade da derivada), mas isso ainda pode ser um ponto crítico.

Passo 3

Agora, o que é f''? f'' é a segunda derivada de f, isto é, a derivada de f'. Ela mede a curvatura: se f''\text{(c)}>0 a função está “côncava para cima” em c (talvez um mínimo local), se f''\text{(c)}<0 está “côncava para baixo” (talvez um máximo local). Mas atenção importante: a existência ou valor de f'' não entra na definição de ponto crítico. f'' serve para classificar pontos críticos (teste da segunda derivada), não para defini‑los.

Passo 4

Vou explicar o teste da segunda derivada, porque as pessoas confundem definição com teste de classificação. Suponha que f seja duas vezes diferenciável em c e que f'\text{(c)}=0. O teste diz:
  • Se f''\text{(c)}>0, então f tem um mínimo local em c.
  • Se f''\text{(c)}<0, então f tem um máximo local em c.
  • Se f''\text{(c)}=0, o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo ou ponto de inflexão); aí você precisa usar outros critérios.
    Repare: o teste exige que f'\text{(c)}=0 primeiro; f'' só entra depois para classificação.

Passo 5

Agora vamos contra‑exemplificar a afirmação do enunciado. A afirmação dizia que pontos críticos são pontos em que f' e f'' se anulam ou não existem. Isso exige que BOTH (os dois) se anulem ou não existam — mas a definição exige apenas condição em f'. Um contraexemplo simples mostra que a afirmação é falsa.
Considere f(x)=x^2. Então
f'(x)=2x,\qquad f''(x)=2.
No ponto x=0 temos f'(0)=0, logo 0 é ponto crítico. Porém f''(0)=2\neq0. Aqui f' se anula mas f'' não se anula. Isso já contradiz a afirmação que exige que ambos se anulem ou não existam. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 6

Dou outro exemplo para reforçar: seja f(x)=|x|\). Então \(f\) é contínua e pertence ao domínio real inteiro, mas \[f'(x)=\begin{cases} -1,& x<0,\\[4pt] \text{não existe},& x=0,\\[4pt] 1,& x>0. \end{cases}
No ponto x=0\] temos que \(f' não existe, portanto 0 é ponto crítico (pela definição). A segunda derivada f''(0) também não existe; aqui tanto f' quanto f'' não existem — mas o que importa é que f' não existe: isso já define o ponto crítico. Note que não é necessário que f'' também falhe ou seja zero para que o ponto seja crítico.]

Passo 7

Resumo didático (como responder rápido na prova):
  • Definição correta (use-a): ponto crítico = ponto onde f'\text{(c)}=0 ou f' não existe.
  • A presença ou valor de f'' NÃO é parte da definição; f'' só ajuda a classificar o ponto (teste da segunda derivada).
  • Portanto a afirmação dada é falsa. Se quiser desmontar em uma linha na prova, basta dar o contraexemplo f(x)=x^2 e mostrar que em 0 temos f'(0)=0 e f''(0)=2\neq0.

Resposta

F

Exercícios relacionados