Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) Os valores críticos de uma função são pontos em que f ’ e f " se anulam ou não existem
( ) Os valores críticos de uma função são pontos em que f ’ e f " se anulam ou não existem
Passo 1
O enunciado apresenta a afirmação: “Os valores críticos de uma função são pontos em que
e
se anulam ou não existem” e pede que eu diga se isso é Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique.
Informações dadas: a afirmação fala de “valores críticos” relacionando ambas as derivadas e
.
O que é pedido: decidir V ou F e explicar por que.
Informações dadas: a afirmação fala de “valores críticos” relacionando ambas as derivadas
O que é pedido: decidir V ou F e explicar por que.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que normalmente se entende por “valor crítico” ou “ponto crítico” (não invente nome diferente na prova — eu explico o uso mais comum). A definição padrão que você deverá usar na prova é: um ponto
do domínio de
é um ponto crítico (ou estacionário) se
Explicando devagar:
é a derivada de
. Dizer que
significa que a inclinação da reta tangente em
é zero (gráficamente, uma “platô” ou topo/vale local). Dizer que
não existe em
significa que a derivada não está definida aí (por exemplo, canto, quina ou descontinuidade da derivada), mas isso ainda pode ser um ponto crítico.
Passo 3
Agora, o que é
?
é a segunda derivada de
, isto é, a derivada de
. Ela mede a curvatura: se
a função está “côncava para cima” em
(talvez um mínimo local), se
está “côncava para baixo” (talvez um máximo local). Mas atenção importante: a existência ou valor de
não entra na definição de ponto crítico.
serve para classificar pontos críticos (teste da segunda derivada), não para defini‑los.
Passo 4
Vou explicar o teste da segunda derivada, porque as pessoas confundem definição com teste de classificação. Suponha que
seja duas vezes diferenciável em
e que
. O teste diz:
- Se
, então tem um mínimo local em . - Se
, então tem um máximo local em . - Se
, o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo ou ponto de inflexão); aí você precisa usar outros critérios.
Repare: o teste exige queprimeiro; só entra depois para classificação.
Passo 5
Agora vamos contra‑exemplificar a afirmação do enunciado. A afirmação dizia que pontos críticos são pontos em que
e
se anulam ou não existem. Isso exige que BOTH (os dois) se anulem ou não existam — mas a definição exige apenas condição em
. Um contraexemplo simples mostra que a afirmação é falsa.
Considere
. Então
No ponto
temos
, logo
é ponto crítico. Porém
. Aqui
se anula mas
não se anula. Isso já contradiz a afirmação que exige que ambos se anulem ou não existam. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 6
Dou outro exemplo para reforçar: seja
No ponto
não existe, portanto
é ponto crítico (pela definição). A segunda derivada
também não existe; aqui tanto
quanto
não existem — mas o que importa é que
não existe: isso já define o ponto crítico. Note que não é necessário que
também falhe ou seja zero para que o ponto seja crítico.]
Passo 7
Resumo didático (como responder rápido na prova):
- Definição correta (use-a): ponto crítico = ponto onde
ou não existe. - A presença ou valor de
NÃO é parte da definição; só ajuda a classificar o ponto (teste da segunda derivada). - Portanto a afirmação dada é falsa. Se quiser desmontar em uma linha na prova, basta dar o contraexemplo
e mostrar que em temos e .
Resposta
F