Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) No ponto em que a derivada de \mathrm{f}(\mathrm{x}) é nula, existe um máximo ou mínimo de \mathrm{f}(\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, e pede justificativa:
\text{“No ponto em que a derivada de } f(x) \text{ é nula, existe um máximo ou mínimo de } f(x).”}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há um ponto c tal que a derivada existe e \,f'\text{(c)}=0.
  • A afirmação afirma que, sempre que isso acontece, necessariamente existe um máximo ou mínimo (local) de f em c.
    Não há outras condições explícitas (como continuidade da segunda derivada, domínio, etc.). A tarefa é decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justificar claramente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo — isso é importante para não confundir tudo na hora da prova.
Definição de derivada:
f'\text{(c)}=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h},
quando esse limite existe. Intuitivamente, f'\text{(c)} é a inclinação da reta tangente a f em x=c.
Definição de extremo local:
  • Dizemos que f tem um máximo local em c se existe um intervalo aberto I com c\in I tal que, para todo x\in I, f(x)\le f\text{(c)}.
  • Dizemos que f tem um mínimo local em c se existe um intervalo aberto I com c\in I tal que, para todo x\in I, f(x)\ge f\text{(c)}.
Teorema de Fermat (importante e frequentemente usado):
Se f é diferenciável em c e tem um extremo local (máx. ou mín.) em c (com c interior ao domínio), então necessariamente
f'\text{(c)}=0.
Esse teorema dá uma condição necessária: extremo local + diferenciabilidade ⇒ derivada zero. Note bem: é uma condição necessária, não afirmativa do tipo “derivada zero implica extremo”.

Passo 3

Agora o ponto crucial: a recíproca do Teorema de Fermat NÃO é verdadeira em geral. Ou seja, ter f'\text{(c)}=0 não garante que c seja máximo ou mínimo. Vou mostrar um contraexemplo simples e muito usado em provas.
Considere f(x)=x^3. Calculemos a derivada:
f'(x)=3x^2.
Em x=0 temos f'(0)=3\cdot0^2=0. Logo, existe um ponto com derivada nula. Mas f(0)=0 não é nem máximo nem mínimo local. Para ver isso, observe valores próximos:
f(-\varepsilon)=(-\varepsilon)^3=-\varepsilon^3<0=f(0)\quad\text{e}\quad f(\varepsilon)=\varepsilon^3>0=f(0)
para qualquer \varepsilon>0 pequeno. Portanto, à esquerda de 0 a função assume valores menores, e à direita assume valores maiores; 0 está “no meio” — é um ponto de inflexão, não um extremo. Conclusão: \,f'(0)=0 e ainda assim não há máximo nem mínimo em 0.
Esse exemplo prova que a afirmação do enunciado é falsa.

Passo 4

Para solidificar a compreensão, vamos contrastar com um caso onde \,f'\text{(c)}=0 e realmente há um mínimo, e explicar por que nesses casos funciona.
Exemplo com mínimo: g(x)=x^2.
g'(x)=2x\quad\Rightarrow\quad g'(0)=0.
Além disso, a segunda derivada é
g''(x)=2,
e em x=0 temos g''(0)=2>0. Pelo chamado teste da segunda derivada: se g'\text{(c)}=0 e g''\text{(c)}>0, então g tem um mínimo local em c. (Intuição: a concavidade para cima faz a tangente com inclinação zero ser um ponto de vale.)
Comparando os dois exemplos:
  • Em x^2: f'(0)=0 e f''(0)>0 ⇒ mínimo.
  • Em x^3: f'(0)=0 e f''(0)=0 ⇒ teste da segunda derivada é inconclusivo; de fato não há extremo.

Passo 5

Resumindo as ferramentas práticas que você pode usar na prova para decidir se \,f'\text{(c)}=0 indica extremo:
  • Teorema de Fermat: extremo local ⇒ f'\text{(c)}=0. (Uso: se você sabe que existe um extremo, então deve checar que a derivada seja zero.)
  • Teste da primeira derivada: observe o sinal de f' à esquerda e à direita de c. Se f' muda de positivo para negativo em c, há máximo; se muda de negativo para positivo, há mínimo; se não muda (por exemplo, permanece positivo), então não há extremo.
  • Teste da segunda derivada: se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}>0 então mínimo; se f''\text{(c)}<0 então máximo; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo (pode ser inflexão, máximo, mínimo ou mais análises são necessárias).
Na prova, quando você encontrar f'\text{(c)}=0, não escreva imediatamente “logo máximo/minimo”; use um desses testes para concluir.

Passo 6

Conclusão e justificativa direta para o enunciado: a afirmação é falsa. A razão é que f'\text{(c)}=0 é apenas uma condição necessária (pela recíproca do Teorema de Fermat isso não vale) mas não suficiente para garantir extremo. Contraexemplo explícito: f(x)=x^3 tem f'(0)=0 e não tem nem máximo nem mínimo em 0. Portanto a afirmação do enunciado é incorreta.
Força aí — essa pegadinha é muito comum: lembrar sempre do exemplo x^3 e dos testes de primeira/segunda derivada salva a pele na prova.

Resposta

F (Falso)

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