Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) No ponto em que a derivada de
é nula, existe um máximo ou mínimo de
( ) No ponto em que a derivada de
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, e pede justificativa:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um ponto
tal que a derivada existe e . - A afirmação afirma que, sempre que isso acontece, necessariamente existe um máximo ou mínimo (local) de
em .
Não há outras condições explícitas (como continuidade da segunda derivada, domínio, etc.). A tarefa é decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justificar claramente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada termo — isso é importante para não confundir tudo na hora da prova.
Definição de derivada:
quando esse limite existe. Intuitivamente,
é a inclinação da reta tangente a
em
.
Definição de extremo local:
- Dizemos que
tem um máximo local em se existe um intervalo aberto com tal que, para todo , . - Dizemos que
tem um mínimo local em se existe um intervalo aberto com tal que, para todo , .
Teorema de Fermat (importante e frequentemente usado):
Se é diferenciável em
e tem um extremo local (máx. ou mín.) em
(com
interior ao domínio), então necessariamente
Se
Esse teorema dá uma condição necessária: extremo local + diferenciabilidade ⇒ derivada zero. Note bem: é uma condição necessária, não afirmativa do tipo “derivada zero implica extremo”.
Passo 3
Agora o ponto crucial: a recíproca do Teorema de Fermat NÃO é verdadeira em geral. Ou seja, ter
não garante que
seja máximo ou mínimo. Vou mostrar um contraexemplo simples e muito usado em provas.
Considere
. Calculemos a derivada:
Em
temos
. Logo, existe um ponto com derivada nula. Mas
não é nem máximo nem mínimo local. Para ver isso, observe valores próximos:
para qualquer
pequeno. Portanto, à esquerda de
a função assume valores menores, e à direita assume valores maiores;
está “no meio” — é um ponto de inflexão, não um extremo. Conclusão:
e ainda assim não há máximo nem mínimo em
.
Esse exemplo prova que a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 4
Para solidificar a compreensão, vamos contrastar com um caso onde
e realmente há um mínimo, e explicar por que nesses casos funciona.
Exemplo com mínimo:
.
Além disso, a segunda derivada é
e em
temos
. Pelo chamado teste da segunda derivada: se
e
, então
tem um mínimo local em
. (Intuição: a concavidade para cima faz a tangente com inclinação zero ser um ponto de vale.)
Comparando os dois exemplos:
- Em
: e ⇒ mínimo. - Em
: e ⇒ teste da segunda derivada é inconclusivo; de fato não há extremo.
Passo 5
Resumindo as ferramentas práticas que você pode usar na prova para decidir se
indica extremo:
- Teorema de Fermat: extremo local ⇒
. (Uso: se você sabe que existe um extremo, então deve checar que a derivada seja zero.) - Teste da primeira derivada: observe o sinal de
à esquerda e à direita de . Se muda de positivo para negativo em , há máximo; se muda de negativo para positivo, há mínimo; se não muda (por exemplo, permanece positivo), então não há extremo. - Teste da segunda derivada: se
e então mínimo; se então máximo; se o teste é inconclusivo (pode ser inflexão, máximo, mínimo ou mais análises são necessárias).
Na prova, quando você encontrar
, não escreva imediatamente “logo máximo/minimo”; use um desses testes para concluir.
Passo 6
Conclusão e justificativa direta para o enunciado: a afirmação é falsa. A razão é que
é apenas uma condição necessária (pela recíproca do Teorema de Fermat isso não vale) mas não suficiente para garantir extremo. Contraexemplo explícito:
tem
e não tem nem máximo nem mínimo em
. Portanto a afirmação do enunciado é incorreta.
Força aí — essa pegadinha é muito comum: lembrar sempre do exemplo
e dos testes de primeira/segunda derivada salva a pele na prova.
Resposta
F (Falso)