Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
(a) (1, \pi, e)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: marcar o ponto de coordenadas cilíndricas (1,\pi,e) e encontrar as coordenadas retangulares (cartesianas) correspondentes.
Informações dadas: (r,\theta,z) = (1,\pi,e). Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Vamos entender claramente o que significam essas coordenadas cilíndricas. Uma coordenada cilíndrica é dada por (r,\theta,z), onde:
r
é a distância do ponto ao eixo z (ou seja, o raio da projeção no plano xy),
\theta
é o ângulo medido no plano xy a partir do eixo positivo x (sentido anti-horário é o positivo), e
z
é a altura do ponto ao longo do eixo z.
Então, a projeção do ponto no plano xy tem coordenadas polares (r,\theta), e a coordenada z é igual à coordenada z cartesiana.

Passo 3

A fórmula padrão para converter de coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) para coordenadas retangulares (x,y,z) é:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
z = z.
Aqui eu explico o porquê de cada fórmula, de forma bem direta:
  • x é a componente horizontal ao longo do eixo x: na projeção no plano xy a coordenada x é o lado adjacente ao ângulo \theta num triângulo com hipotenusa r, então x = r\cos\theta.
  • y é a componente ao longo do eixo y: é o lado oposto ao ângulo \theta no mesmo triângulo, então y = r\sin\theta.
  • z não muda: a coordenada vertical em cilíndricas é a mesma que em cartesianas.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas ao nosso ponto (r,\theta,z)=(1,\pi,e). Primeiro calculemos os valores de \cos\pi e \sin\pi. Pelo círculo trigonométrico:
\cos\pi = -1,
\sin\pi = 0.
Substituindo em x = r\cos\theta e y = r\sin\theta:
x = 1\cdot\cos\pi = 1\cdot(-1) = -1,
y = 1\cdot\sin\pi = 1\cdot 0 = 0,
e a coordenada z permanece
z = e.

Passo 5

Interpretação geométrica (útil para “marcar o ponto”): a projeção no plano xy é o ponto (-1,0), ou seja, fica sobre o eixo x negativo a distância 1 da origem. A coordenada z=e indica que esse ponto está acima do plano xy a uma altura e (aproximadamente 2{,}718). Para marcar no desenho: vá até x=-1,\\ y=0 no plano xy e suba até z=e.

Resposta

(-1,0,e)

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