Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: marcar o ponto de coordenadas cilíndricas
e encontrar as coordenadas retangulares (cartesianas) correspondentes.
Informações dadas: . Não há outras informações no enunciado.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos entender claramente o que significam essas coordenadas cilíndricas. Uma coordenada cilíndrica é dada por
, onde:
é a distância do ponto ao eixo
(ou seja, o raio da projeção no plano
),
é o ângulo medido no plano
a partir do eixo positivo
(sentido anti-horário é o positivo), e
é a altura do ponto ao longo do eixo
.
Então, a projeção do ponto no plano tem coordenadas polares
, e a coordenada
é igual à coordenada
cartesiana.
Então, a projeção do ponto no plano
Passo 3
A fórmula padrão para converter de coordenadas cilíndricas
para coordenadas retangulares
é:
Aqui eu explico o porquê de cada fórmula, de forma bem direta:
-
é a componente horizontal ao longo do eixo : na projeção no plano a coordenada é o lado adjacente ao ângulo num triângulo com hipotenusa , então . -
é a componente ao longo do eixo : é o lado oposto ao ângulo no mesmo triângulo, então . -
não muda: a coordenada vertical em cilíndricas é a mesma que em cartesianas.
Passo 4
Agora aplicamos as fórmulas ao nosso ponto
. Primeiro calculemos os valores de
e
. Pelo círculo trigonométrico:
Substituindo em
e
:
e a coordenada
permanece
Passo 5
Interpretação geométrica (útil para “marcar o ponto”): a projeção no plano
é o ponto
, ou seja, fica sobre o eixo
negativo a distância
da origem. A coordenada
indica que esse ponto está acima do plano
a uma altura
(aproximadamente
). Para marcar no desenho: vá até
no plano
e suba até
.