Questão 02) (05 pontos) Estamos interessados em resolver a EDO que segue via séries de potências em torno de um “ponto ordinário”. Assim, ache a solução geral em séries de potências de x centrada em \mathrm{x}=0, sendo \mathrm{x}=0 ponto ordinário da EDO \left(x^{2}-9\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0. Além disso, encontre a solução particular satisfazendo y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1 (exiba os seis primeiros termos dessa solução particular).

Passo 1

O enunciado pede a solução em séries de potências centrada em x=0 da EDO
(x^2-9)y''+3xy'+y=0,
sabendo que x=0 é ponto ordinário. Vamos assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
e determinar uma recorrência para os coeficientes a_n.

Passo 2

Derivando a série temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_nx^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}x^n.
Então
x^2y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_nx^n,
-9y''=-9\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}x^n,
3xy'=3\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_nx^n,
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.

Passo 3

Somando todos os termos e igualando o coeficiente de x^n a zero, para n\ge0, obtém-se
n(n-1)a_n+3n\,a_n+a_n-9(n+2)(n+1)a_{n+2}=0.
Como n(n-1)+3n+1=(n+1)^2, a recorrência fica
a_{n+2}=\frac{n+1}{9(n+2)}\,a_n,\quad n\ge0.

Passo 4

Da recorrência vemos que a_0 e a_1 são livres, gerando duas soluções independentes:
y_1(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}x^{2m},\qquad y_2(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m+1}x^{2m+1},
onde
a_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{2^m\,m!\,9^m}\,a_0, \quad a_{2m+1}=\frac{2^m\,m!}{(2m+1)!!\,9^m}\,a_1.
Assim a solução geral é
y(x)=a_0\,y_1(x)+a_1\,y_2(x).

Passo 5

Para a solução particular usamos y(0)=2 e y'(0)=1. Como \displaystyle y(0)=a_0=2 e \displaystyle y'(0)=a_1=1, temos
a_0=2,\quad a_1=1.

Passo 6

Calculando os a_n até n=5 via a recorrência:
a_2=\frac{1}{18}a_0=\frac{2}{18}=\frac{1}{9},\quad a_3=\frac{2}{27}a_1=\frac{2}{27},
a_4=\frac{3}{9\cdot4}a_2=\frac{1}{108},\quad a_5=\frac{4}{9\cdot5}a_3=\frac{8}{1215}.
Logo, os seis primeiros termos da solução particular são
y(x)=2 + x + \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{27}x^3 + \frac{1}{108}x^4 + \frac{8}{1215}x^5 + \cdots.

Resposta

Solução geral:
y(x)=a_0\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(2m-1)!!}{2^m\,m!\,9^m}\,x^{2m} \;+\;a_1\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2^m\,m!}{(2m+1)!!\,9^m}\,x^{2m+1}.
Solução particular com y(0)=2,\;y'(0)=1 (seis primeiros termos):
y(x)=2 + x + \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{27}x^3 + \frac{1}{108}x^4 + \frac{8}{1215}x^5 + \cdots.

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