Questão 02) (05 pontos) Estamos interessados em resolver a EDO que segue via séries de potências em torno de um “ponto ordinário”. Assim, ache a solução geral em séries de potências de x centrada em
, sendo
ponto ordinário da EDO
. Além disso, encontre a solução particular satisfazendo
e
(exiba os seis primeiros termos dessa solução particular).
Passo 1
O enunciado pede a solução em séries de potências centrada em
da EDO
sabendo que
é ponto ordinário. Vamos assumir
e determinar uma recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Derivando a série temos
Então
Passo 3
Somando todos os termos e igualando o coeficiente de
a zero, para
, obtém-se
Como
, a recorrência fica
Passo 4
Da recorrência vemos que
e
são livres, gerando duas soluções independentes:
onde
Assim a solução geral é
Passo 5
Para a solução particular usamos
e
. Como
e
, temos
Passo 6
Calculando os
até
via a recorrência:
Logo, os seis primeiros termos da solução particular são
Resposta
Solução geral:
Solução particular com
(seis primeiros termos):