Escolha um exemplo para explicar detalhadamente a interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função z=f(x, y) em um ponto P\left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O objetivo é entender o que significam geometricamente as derivadas parciais de uma função de duas variáveis z=f(x,y) num ponto P(x_0,y_0). Para isso, vamos usar como exemplo a função
f(x,y)=x^2+y^2
no ponto
P(1,1).
Lembraremos da definição de derivada parcial e depois veremos como interpretá-la como inclinação de certas curvas de interseção da superfície com planos verticais.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y^2. Por definição,
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)=2x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=2y.
No ponto P(1,1) isso dá
f_x(1,1)=2\cdot1=2,
f_y(1,1)=2\cdot1=2.

Passo 3

Interpretação de f_x(1,1): fixamos y=1 e consideramos a curva de interseção da superfície z=x^2+y^2 com o plano vertical y=1. Nessa curva,
z(x,1)=x^2+1,
e sua derivada em x=1 é justamente
\frac{d}{dx}[\,x^2+1\,]\bigg|_{x=1}=2\cdot1=2.
Geometricamente, isso significa que, movendo-nos ao longo da direção x (mantendo y=1), a superfície sobe com inclinação 2 no ponto P. Essa inclinação é a tangente à curva interseção no plano y=1.

Passo 4

Interpretação de f_y(1,1): fixamos x=1 e olhamos a curva de interseção com o plano vertical x=1. Nela,
z(1,y)=1+y^2,
e sua derivada em y=1 é
\frac{d}{dy}[\,1+y^2\,]\bigg|_{y=1}=2\cdot1=2.
Isso indica que, movendo-nos na direção y (com x=1), a superfície também sobe com inclinação 2 no ponto P. Essa é a tangente à curva interseção no plano x=1.

Passo 5

A partir de f_x(1,1) e f_y(1,1) podemos ainda montar o plano tangente à superfície em P. Ele é dado por
z - f(1,1) = f_x(1,1)\,(x-1) + f_y(1,1)\,(y-1).
Como f(1,1)=1^2+1^2=2 e f_x(1,1)=f_y(1,1)=2, temos
z-2=2\,(x-1)+2\,(y-1),
que é o plano que “toca” a superfície em P e cujo cruzamento com y=1 e com x=1 reproduz as tangentes avaliadas.

Resposta

As derivadas parciais no ponto P(1,1) são
f_x(1,1)=2,\quad f_y(1,1)=2,
e cada uma delas representa a inclinação da superfície na direção dos eixos x e y, respectivamente, correspondendo às tangentes nas curvas de interseção com os planos y=1 e x=1.

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