Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=c_{1} e^{2 i}+c_{2} e^{3 i}.

Passo 1

O enunciado pede uma EDO linear homogênea de segunda ordem com solução geral
y(x)=c_{1}e^{2i x}+c_{2}e^{3i x}.
Para construí‐la, vamos usar que essas exponenciais são soluções associadas às raízes da equação característica.

Passo 2

Sejam as raízes da característica
r_{1}=2i,\quad r_{2}=3i.
Então a equação característica que as tem como soluções é
(r - r_{1})(r - r_{2})=0.

Passo 3

Expandindo
(r - 2i)(r - 3i) = r^{2} - (2i+3i)\,r + (2i)(3i) = r^{2} - 5i\,r -6.

Passo 4

A EDO linear homogênea de segunda ordem com essa característica é
y'' -5i\,y' -6\,y = 0.

Resposta

y'' -5i\,y' -6\,y = 0.

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