Questão 02) Uma água purificada tem uma condutividade elétrica \sigma=10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m} e uma permissividade elétrica \epsilon=7 \times 10^{-10} \mathrm{~F} / \mathrm{m}, consideradas aqui constantes e independentes da frequência. O campo elétrico presente nesta água (imóvel) é da forma \vec{E}=E_{p} \operatorname{sen}(2 \pi f t) \hat{x} onde t é o tempo, f é a frequência, \hat{x} é um vetor unitário constante e E_{p}=100 \mathrm{~V} / \mathrm{m} é o valor pico.
a) Para f=60 \mathrm{~Hz}, calcule o valor pico da densidade de corrente de deslocamento e da densidade de corrente de condução;
b) Para qual valor de frequência os valores pico da densidade de corrente de deslocamento e da densidade de corrente de condução são iguais?
(2 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá uma água com condutividade \sigma=10^{-4}\\ \mathrm{S/m} e permissividade \epsilon=7\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}, submetida a um campo elétrico
\vec{E}(t)=E_p\sin(2\pi f t)\,\hat{x},\quad E_p=100\\ \mathrm{V/m}.
O conteúdo da matéria é correntes em meios contínuos: a densidade de corrente de condução
J_c(t)=\sigma\,E(t)
e a densidade de corrente de deslocamento
J_d(t)=\epsilon\,\frac{\partial E}{\partial t}.
Vamos usar estas fórmulas para achar os valores pico em f=60\\ \mathrm{Hz} e depois igualar os picos para encontrar a frequência em que se igualam.

Passo 2

Derivando E(t) em relação ao tempo:
\frac{\partial E}{\partial t} =E_p\,(2\pi f)\cos(2\pi f t).
Logo, os valores pico (amplitude máxima) são
J_{c,\text{pico}}=\sigma\,E_p, \quad J_{d,\text{pico}}=\epsilon\,E_p\,(2\pi f).

Passo 3

Para f=60\\ \mathrm{Hz}:
J_{c,\text{pico}} =\sigma\,E_p =10^{-4}\times100 =1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{A/m^2},
J_{d,\text{pico}} =\epsilon\,E_p\,(2\pi f) =7\times10^{-10}\times100\times2\pi\times60 \approx2{,}64\times10^{-5}\\ \mathrm{A/m^2}.

Passo 4

Para achar f tal que J_{c,\text{pico}}=J_{d,\text{pico}}, igualamos
\sigma\,E_p =\epsilon\,E_p\,(2\pi f).
Cancelando E_p\neq0 e isolando f:
f=\frac{\sigma}{2\pi\,\epsilon} =\frac{10^{-4}}{2\pi\times7\times10^{-10}} \approx2{,}27\times10^{4}\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

a) J_{c,\text{pico}}=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{A/m^2} e J_{d,\text{pico}}=2{,}64\times10^{-5}\\ \mathrm{A/m^2}.
b) f\approx2{,}27\times10^{4}\\ \mathrm{Hz}.

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