Questão 03) No sistema de coordenadas esférico, considere a seguinte distribuição de campo eletrostático:
para
para
para
é o vetor radial unitário e
é a distância até a origem (
).
A permissividade é uniforme
igual a
em todo o espaço.
a) Determine a distribuição de cargas em todo o espaço (densidade volumétrica
e densidades superficiais
respectivamente em
e
analisando a descontinuidade da indução elétrica ).
b) Calcule o potencial elétrico
em todo o espaço (considerar como referência
quando
, e
contínua).
Dados numéricos:
para
para
para
a) Determine a distribuição de cargas em todo o espaço (densidade volumétrica
b) Calcule o potencial elétrico
Dados numéricos:
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas esféricas
para :
para
para
:
para
:
com permissividade
uniforme.
(a) Pedem a densidade volumétrica (onde
) e as densidades superficiais
em
e
em
, usando a descontinuidade de
.
(b) Pedem o potencial em todo o espaço, com referência
e continuidade de
.
(a) Pedem a densidade volumétrica
(b) Pedem o potencial
Passo 2
Para densidade volumétrica usamos a lei de Gauss local:
Em coordenadas esféricas, só há componente radial, e
Passo 3
Calculemos em cada região
:
para :
para
logo
Para
e
,
, logo
Passo 4
As densidades superficiais vêm da descontinuidade de
na esfera:
Em
:
logo
.
Em :
Em
então
Passo 5
Para o potencial usamos
já que
e
.
- Para
:
- Para
:
que simplifica para
- Para
:
somamos três integrais, , . O resultado final, garantindo continuidade em , é
Resposta
(a)
(b)