Questão 03) No sistema de coordenadas esférico, considere a seguinte distribuição de campo eletrostático:
para r<R_{1}, \quad \vec{E}(\vec{r})=\frac{E_{0}}{R_{1}} r \hat{r}
para R_{1}<r<R_{2}, \vec{E}(\vec{r})=\frac{E_{0} R_{1}^{2}}{r^{2}} \hat{r}
para \quad r>R_{2}, \quad \vec{E}(\vec{r})=\frac{E_{0}}{r^{2}}\left(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right) \hat{r}
\hat{r} é o vetor radial unitário e r é a distância até a origem ( \vec{r}=r \hat{r} ).
A permissividade é uniforme e igual a \epsilon_{0} \simeq 8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} em todo o espaço.
a) Determine a distribuição de cargas em todo o espaço (densidade volumétrica \quad \rho(r)=\operatorname{div}(\vec{D}) e densidades superficiais \quad \rho_{s 1} \mathrm{e} \quad \rho_{s 2} respectivamente em \quad r=R_{1} e \quad r=R_{2} analisando a descontinuidade da indução elétrica ).
b) Calcule o potencial elétrico \quad V(r) em todo o espaço (considerar como referência V(r)=0 quando r \rightarrow \infty, e V(r) contínua).
Dados numéricos: E_{0}=377 \mathrm{~V} / \mathrm{m} \quad, \quad R_{1}=10 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas esféricas
para r<R_{1}:
\vec E(r)=\frac{E_{0}}{R_{1}}\,r\,\hat r
para R_{1}<r<R_{2}:
\vec E(r)=\frac{E_{0}\,R_{1}^{2}}{r^{2}}\,\hat r
para r>R_{2}:
\vec E(r)=\frac{E_{0}}{r^{2}}\bigl(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\bigr)\,\hat r
com permissividade \epsilon_0 uniforme.
(a) Pedem a densidade volumétrica \rho(r)=\nabla\cdot\vec D (onde \vec D=\epsilon_0\vec E) e as densidades superficiais \rho_{s1} em r=R_1 e \rho_{s2} em r=R_2, usando a descontinuidade de \vec D.
(b) Pedem o potencial V(r) em todo o espaço, com referência V(\infty)=0 e continuidade de V.

Passo 2

Para densidade volumétrica usamos a lei de Gauss local:
\rho(r)=\nabla\cdot\vec D \quad\text{com}\quad \vec D(r)=\epsilon_0\,\vec E(r).
Em coordenadas esféricas, só há componente radial, e
\nabla\cdot\vec D =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}D_{r}(r)\bigr).

Passo 3

Calculemos em cada região D_{r}(r)=\epsilon_0 E_{r}(r):
para r<R_{1}:
D_{r}(r)=\epsilon_0\frac{E_{0}}{R_{1}}\,r,
logo
\rho(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Bigl(r^{2}\epsilon_0\frac{E_{0}}{R_{1}}\,r\Bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Bigl(\epsilon_0\frac{E_{0}}{R_{1}}\,r^{3}\Bigr) =\epsilon_0\frac{E_{0}}{R_{1}}\cdot\frac{3r^{2}}{r^{2}} =3\,\epsilon_0\frac{E_{0}}{R_{1}}.
Para R_{1}<r<R_{2} e r>R_{2}, D_{r}\propto1/r^2, logo
\rho(r)=0 \quad\text{nessas duas regiões.}õ

Passo 4

As densidades superficiais vêm da descontinuidade de \vec D na esfera:
\sigma =\bigl[D_{r}(\text{fora})-D_{r}(\text{dentro})\bigr]_{r=R}.
Em r=R_{1}:
D_{r}(R_{1}^{-})=\epsilon_0\frac{E_{0}}{R_{1}}\,R_{1} =\epsilon_0E_{0}, \quad D_{r}(R_{1}^{+})=\epsilon_0\frac{E_{0}R_{1}^{2}}{R_{1}^{2}} =\epsilon_0E_{0},
logo \rho_{s1}=0.
Em r=R_{2}:
D_{r}(R_{2}^{-})=\epsilon_0\frac{E_{0}R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}, \quad D_{r}(R_{2}^{+})=\epsilon_0\frac{E_{0}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}{R_{2}^{2}},
então
\rho_{s2} =\epsilon_0E_{0}\frac{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} =\epsilon_0E_{0}.

Passo 5

Para o potencial usamos
V(r)=\int_{r}^{\infty}E_{r}(r')\,dr',
já que V(\infty)=0 e \vec E=-\nabla V.
  1. Para r>R_{2}:
V(r) =\int_{r}^{\infty}\frac{E_{0}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}{r'^{2}}\,dr' =\frac{E_{0}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}{r}.
  1. Para R_{1}<r<R_{2}:
V(r) =\int_{r}^{R_{2}}\frac{E_{0}R_{1}^{2}}{r'^{2}}\,dr' +\int_{R_{2}}^{\infty}\frac{E_{0}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}{r'^{2}}\,dr' =E_{0}R_{1}^{2}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr) +\frac{E_{0}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}{R_{2}},
que simplifica para
V(r)=\frac{E_{0}R_{1}^{2}}{r}+E_{0}R_{2}.
  1. Para r<R_{1}:
    somamos três integrais r\to R_{1}, R_{1}\to R_{2}, R_{2}\to\infty. O resultado final, garantindo continuidade em r=R_{1}, é
V(r) =E_{0}R_{2}+\tfrac{3}{2}E_{0}R_{1} -\frac{E_{0}}{2R_{1}}\,r^{2}.

Resposta

(a)
\rho(r)= \begin{cases} 3\,\epsilon_{0}\displaystyle\frac{E_{0}}{R_{1}},&r<R_{1},\\[6pt] 0,&r>R_{1}. \end{cases} \quad \rho_{s1}=0,\quad \rho_{s2}=\epsilon_{0}E_{0}.
(b)
V(r)= \begin{cases} E_{0}R_{2}+\tfrac{3}{2}E_{0}R_{1}-\dfrac{E_{0}}{2R_{1}}\,r^{2},&r<R_{1},\\[8pt] \dfrac{E_{0}R_{1}^{2}}{r}+E_{0}R_{2},&R_{1}<r<R_{2},\\[6pt] \dfrac{E_{0}\bigl(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\bigr)}{r},&r>R_{2}. \end{cases}]

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