Questão 02 -

Uma bola de massa m é lançada para cima com uma velocidade v. Se o ar exerce uma força de resistência constante de intensidade F, sempre oposta à velocidade, a velocidade com a qual a bola retorna à mão do arremessador é:
a) v \sqrt{\frac{m g}{m g+F}}.
b) v \sqrt{\frac{m g-F}{m g}}
c) v \sqrt{\frac{m g-F}{m g+F}}.
d) v \sqrt{\frac{m g+F}{m g}}.
e) v \sqrt{\frac{m g+F}{m g+2 F}}.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma bola de massa m para cima com velocidade inicial v e que há uma força de resistência do ar de módulo constante F, sempre oposta ao sentido da velocidade. Queremos a velocidade de retorno v_r ao alcance da mão.
Conteúdo: vamos usar o Teorema Trabalho–Energia (variação de energia cinética igual à soma dos trabalhos das forças).

Passo 2

Calcular a altura máxima h atingida na subida usando o trabalho da gravidade e da força de resistência.
Inicialmente a bola tem energia cinética \tfrac12 m v^2 e ao chegar ao repouso em altura h sua energia cinética é zero. O trabalho da gravidade é
W_g = -m g\,h
e o trabalho da resistência é
W_r = -F\,h.
Pelo Teorema Trabalho–Energia:
\tfrac12 m v^2 + \bigl(W_g + W_r\bigr) = 0.
Substituindo os trabalhos:
\tfrac12 m v^2 - m g\,h - F\,h = 0
\implies h = \frac{\tfrac12 m v^2}{m g + F} = \frac{m v^2}{2\,(m g + F)}.

Passo 3

Calcular a velocidade v_r na descida desde o repouso no topo até a mão, usando os mesmos trabalhos mas agora a gravidade faz trabalho positivo e a resistência negativo.
O trabalho da gravidade na descida de h é
W'_g = +m g\,h
e da resistência é
W'_r = -F\,h.
Como a energia cinética inicial no topo é zero, temos
\tfrac12 m v_r^2 = W'_g + W'_r = m g\,h - F\,h = (m g - F)\,h.

Passo 4

Substituir h obtido no passo 2 em
\tfrac12 m v_r^2 = (m g - F)\,h.
Isso dá
\tfrac12 m v_r^2 = (m g - F)\,\frac{m v^2}{2\,(m g + F)}
\implies v_r^2 = v^2\,\frac{m g - F}{m g + F} \quad\Longrightarrow\quad v_r = v\,\sqrt{\frac{m g - F}{m g + F}}.

Resposta

(c) v\sqrt{\frac{m g - F}{m g + F}}

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