Questão 19 -

Uma fonte de luz isotrópica está mergulhada abaixo da superfície de um grande lago com água, cujo índice de refração é n. Qual a fração da energia da luz que emerge da água?
a) \frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}}\right).
b) \frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}}\right).
c) \frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-n^{2}}\right)
d) \left(1-\sqrt{1-n^{2}}\right).
e) \left(1-\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}\right).

Passo 1

O enunciado descreve uma fonte pontual isotrópica submersa em água de índice de refração n, afastada de uma superfície plana que limita com o ar (índice 1). Precisamos calcular a fração da potência total emitida que atravessa essa interface para o ar. Vamos usar conceitos de ângulo crítico e sólidos angulares.

Passo 2

Pela lei de Snell, o ângulo crítico \theta_{c} satisfação
\sin\theta_{c}=\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}=\frac{1}{n}.á
Só os raios com ângulo de incidência \theta\le\theta_{c} saem da água; para \theta>\theta_{c} ocorre reflexão total.

Passo 3

Uma fonte isotrópica distribui a luz uniformemente em todos os 4 \pi estereorradianos. Os raios que emergem formam um “cap” esférico de semiângulo \theta_{c} sobre a superfície da esfera. O sólido angular desse cap é
\Omega_{\text{cap}}=2\pi\bigl(1-\cos\theta_{c}\bigr).
A fração da potência total que sai é então
f=\frac{\Omega_{\text{cap}}}{4\pi} =\frac{2\pi\bigl(1-\cos\theta_{c}\bigr)}{4\pi} =\frac{1-\cos\theta_{c}}{2}.

Passo 4

Usando \cos\theta_{c}=\sqrt{1-\sin^2\theta_{c}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{n^2}}, obtemos
f=\frac{1-\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}{2}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{1}{2}\Bigl(1-\sqrt{1-\tfrac{1}{n^{2}}}\Bigr).

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