QUESTÃO 02 : Complete as igualdades abaixo, escrevendo em formato de conjunto se o conjunto estiver na notação de intervalo, e no formato de intervalo se estiver descrito no formato de conjunto, utilizando caso necessário os símbolos \cap \mathrm{e} \cup.
\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, x>\frac{5}{9}\right.\right\}=

Passo 1

O enunciado dá o conjunto escrito em notação de compreensão:
\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, x>\frac{5}{9}\right.\right\}.
A tarefa é escrever o mesmo conjunto em notação de intervalo. Informação importante dada: a desigualdade é estrita ( >), e o universo é \mathbb{R} (todos os números reais).

Passo 2

Interpretando a notação de compreensão: \left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, x>\frac{5}{9}\right.\right\} significa “o conjunto de todos os números reais x tais que x é maior que \frac{5}{9}”. Em termos de reta numérica, são todos os pontos à direita de \frac{5}{9}, sem incluir o ponto \frac{5}{9} em si.

Passo 3

Lembrando a correspondência entre notação de conjuntos e notação de intervalos:
  • (a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\} (ambos extremos excluídos);
  • [a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\} (ambos extremos incluídos);
  • (a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\} (extremo direito ilimitado; infinito nunca é incluído, por isso parêntese);
  • (-\infty,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\}.
Note que sempre se usa parênteses com \pm\infty, porque \infty não é um número que possa ser incluído.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: como queremos todos os x tais que x>\frac{5}{9}, temos um intervalo que começa em \frac{5}{9} (não incluído) e vai até o infinito positivo. Em notação de intervalo isso é
\left(\frac{5}{9},+\infty\right).

Passo 5

Cheque rápido (controle de sanidade): 1 satisfaz 1>\frac{5}{9} e 1\in\left(\frac{5}{9},+\infty\right). Já \frac{5}{9} não satisfaz a desigualdade estrita, então \frac{5}{9}\notin\left(\frac{5}{9},+\infty\right). Isso confirma que a conversão está correta.

Resposta

\left(\frac{5}{9},+\infty\right)

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