Questão 02) Considere a função
- 25 pontos onde
e v
.
Assinale a única alternativa correta.
Dica: verifique as propriedades de produto interno.
a) A imagem desta função não é um número real.
b) A função define uma transformação linear.
c) A função não define um produto interno.
d) A função define um produto interno.
a) A imagem desta função não é um número real.
b) A função define uma transformação linear.
c) A função não define um produto interno.
d) A função define um produto interno.
Passo 1
O enunciado dá a função bilinear
onde
e
. Queremos saber se isso define um produto interno em
. Para isso verificaremos as três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Bilinearidade é imediata porque cada termo é do tipo constante vezes
. Logo é linear em
e em
separadamente, satisfazendo
e análogas em
.
Passo 3
Simetria: trocando
por
temos
que coincide com
pois os coeficientes dos termos cruzados são iguais. Logo é simétrica.
Passo 4
Positividade definida: podemos representar o forma como
Para verificar se é positiva definida basta checar os menores principais:
- O elemento
. - O determinante
.
Ambos positivos implicam que a forma é positiva definida, ou seja,para todo .
Resposta
(d) A função define um produto interno.