Questão 02) Considere a função lang<= u, vrang<==x 1 y 1-x 1 y 2-x 2 y 1+3 x 2 y 2
  • 25 pontos onde u=(x 1, x 2) e v =(y 1, y 2).
Assinale a única alternativa correta.
Dica: verifique as propriedades de produto interno.
a) A imagem desta função não é um número real.
b) A função define uma transformação linear.
c) A função não define um produto interno.
d) A função define um produto interno.

Passo 1

O enunciado dá a função bilinear
lang<= u,vrang<= = x1y1 ;-; x1y2 ;-; x2y1 ;+;3,x2y2,
onde u=(x1,x2) e v=(y1,y2). Queremos saber se isso define um produto interno em R^2. Para isso verificaremos as três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade é imediata porque cada termo é do tipo constante vezes xi,yj. Logo é linear em u e em v separadamente, satisfazendo
lang<= u+u',vrang<= = lang<= u,vrang<= + lang<= u',vrang<=, lang<= alpha u,vrang<= = alphalang<= u,vrang<=,
e análogas em v.

Passo 3

Simetria: trocando u por v temos
lang<= v,urang<= = y1x1 - y1x2 - y2x1 + 3,y2x2 = x1y1 - x2y1 - x1y2 + 3,x2y2,
que coincide com lang<= u,vrang<= pois os coeficientes dos termos cruzados são iguais. Logo é simétrica.

Passo 4

Positividade definida: podemos representar o forma como
Para verificar se é positiva definida basta checar os menores principais:
  1. O elemento .
  2. O determinante .
    Ambos positivos implicam que a forma é positiva definida, ou seja, para todo .

Resposta

(d) A função define um produto interno.

Exercícios relacionados