Questão 01) Considere o conjunto B subset R^4 formado pelos seguintes
25 pontos vetores: v1 =(1,1,0,-1), v2 =(1,2,1,3), v3 =(1,1,-9,2) e v4 =(16,-13, 1,3).
Assinale a única alternativa correta.
a) Os vetores em B são LDs.
b) Os vetores em B são LIs e não orgotonais.
c) Os vetores em B formam uma base ortogonal para R^4.
d) Os vetores em B formam uma base não ortogonal para R^4.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
B=v1,v2,v3,v4subsetR^4
com
v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,3), v3=(1,1,-9,2), v4=(16,-13,1,3)
e pede para escolher a alternativa correta entre:
a) vetores LD;
b) vetores LI e não ortogonais;
c) base ortogonal de R^4;
d) base não ortogonal de R^4.
Vamos então verificar (1) independência linear e (2) ortogonalidade.

Passo 2

Para verificar a independência linear formamos a matriz que tem os vi como linhas e calculamos seu determinante.
A= 1 & 1 & 0 & -1 1 & 2 & 1 & 3 1 & 1 & -9 & 2 16 & -13 & 1 & 3
Aplicando operações elementares (linha 2←linha 2−linha 1, linha 3←linha 3−linha 1, linha 4←linha 4−16·linha 1 e eliminando abaixo da diagonal) chega-se a uma forma triangular com pivôs 1,1,-9,135.
O determinante é o produto 1cdot1cdot(-9)cdot135=-1215neq0.
Logo os vetores são linearmente independentes e, por terem 4 vetores em R^4, formam uma base.

Passo 3

Para verificar ortogonalidade, basta calcular os produtos internos lang<= vi,vjrang<= para ineq j:
lang<= v1,v2rang<= =1cdot1+1cdot2+0cdot1+(-1)cdot3=0,
lang<= v1,v3rang<==1+1+0-2=0, lang<= v1,v4rang<==16-13+0-3=0,
lang<= v2,v3rang<==1+2-9+6=0, lang<= v2,v4rang<==16-26+1+9=0,
lang<= v3,v4rang<==16-13-9+6=0
Todos os pares são ortogonais entre si.

Resposta

c) Os vetores em B formam uma base ortogonal para R^4.

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