Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}{+\infty}(\sqrt{n}){n}(x-2)^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série de potências e (2) encontrar o intervalo de convergência real. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} (\sqrt{n})^{n}(x-2)^{n}.
Informações fornecidas importantes que vamos usar: cada coeficiente da potência é a_n=(\sqrt{n})^{n}, ou seja a_n = n^{\,n/2}. O centro da série é x_0=2. A solução deve indicar o raio R e, depois, o conjunto de x reais onde a série converge (intervalo de convergência).
Passo 2
Vamos usar o critério geral para séries de potências (fórmula de Cauchy–Hadamard / teste da raiz): para uma série de potências
Explicando com calma: a quantidade \sqrt[n]{|a_n|} mede, grosso modo, a taxa de crescimento dos coeficientes; se essa taxa tende a um número L, então R=1/L. Se \limsup \sqrt[n]{|a_n|}=\infty então R=0. Esta fórmula é a forma apropriada porque nossa série é exatamente da forma coeficiente vezes (x-2)^n.
Passo 3
Calculo explícito de \sqrt[n]{|a_n|} no nosso caso. Primeiro escrevo o coeficiente numa forma conveniente:
Interpretação: raio de convergência R=0 significa que não existe nenhum intervalo aberto em torno de x=2 onde a série converge; a única possível convergência é no ponto x=2 (o centro).
Passo 5
Precisamos agora checar a convergência exatamente em x=2 e em pontos x\neq 2.
Para x=2: cada termo é
(\sqrt{n})^{n}(2-2)^{n}=n^{\,n/2}\cdot 0^{n}=0,
para todo n\ge1. A série é a soma de zeros, portanto converge (soma igual a 0). Então a série converge em x=2.
Para x\neq 2 (ou seja |x-2|>0): examine o valor absoluto dos termos gerais:
Note que \sqrt{n}\,|x-2|\to+\infty quando n\to\infty, porque \sqrt{n}\to\infty e |x-2|>0 é fixo. Assim a base \sqrt{n}\,|x-2| tende a infinito e, elevando-a à potência n, os termos não só não tendem a zero, como crescem sem limite. Pelo teste necessário para convergência de séries (se a série converge então seus termos tendem a zero), concluímos que a série diverge para todo x\neq 2. Alternativamente o teste da raiz aplicado aos termos dá \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\text{termo absoluto}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\,|x-2|=+\infty>1, então diverge.
Portanto, a única posição em que a série converge é x=2.