Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln n)^{2} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} (\ln n)^{2}\,x^{n}.
Estamos em um curso de Análise em série de potências e vamos usar o Teste da raiz para achar o raio R e depois testar os extremos x=\pm1.

Passo 2

Para aplicar o Teste da raiz, defina a_n=(\ln n)^{2}. Calculamos
\limsup_{n\to\infty} \bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} =\limsup_{n\to\infty} \bigl((\ln n)^{2}\bigr)^{1/n}\,\lvert x\rvert =\Bigl(\lim_{n\to\infty}(\ln n)^{2/n}\Bigr)\,\lvert x\rvert.
Como
\lim_{n\to\infty}(\ln n)^{2/n} =\exp\!\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{2\ln(\ln n)}{n}\bigr) =\exp(0)=1,
o Teste da raiz diz que converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1. Logo o raio de convergência é
R=1.

Passo 3

No interior do disco \lvert x\rvert<1 a série converge. Falta agora verificar a convergência nos pontos x=1 e x=-1 para decidir o intervalo de convergência.

Passo 4

Em x=1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}(\ln n)^{2}.
Os termos gerais (\ln n)^{2} não tendem a zero (na verdade tendem a +\infty), portanto falham na condição necessária para convergência. Concluímos que em x=1 a série diverge.

Passo 5

Em x=-1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}(\ln n)^{2}\,(-1)^{n}.
Aqui os termos gerais têm magnitude (\ln n)^{2}\to+\infty, logo não tendem a zero. Pela condição necessária de convergência, ela também diverge em x=-1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-1,1).

Exercícios relacionados