Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln (n!)){2}(x+1){n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência e, em seguida, o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln (n!))^{2}(x+1)^{n}.
Informações e perguntas claras:
  • A série é uma série de potências centrada em -1.
  • Os coeficientes da potência são a_n=(\ln(n!))^{2}.
  • Precisamos encontrar o raio de convergência R.
  • Depois, devemos determinar o intervalo de x (centro -1) onde a série converge, incluindo verificar os extremos x=-2 e x=0.

Passo 2

Como calcular o raio R: para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n o raio de convergência é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explicação didática: \sqrt[n]{|a_n|} mede a taxa de crescimento dos coeficientes. Se \sqrt[n]{|a_n|} tende a um número L, então a série converge para |x-c|<1/L e diverge para |x-c|>1/L. Aqui c=-1 e a_n=(\ln(n!))^{2}, então precisamos calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\ln(n!))^{2}}.

Passo 3

Calcular \sqrt[n]{(\ln(n!))^{2}}. Primeiro escrevemos de forma exponencial:
\sqrt[n]{(\ln(n!))^{2}}=\exp\!\bigg(\frac{1}{n}\ln\big((\ln(n!))^{2}\big)\bigg) =\exp\!\bigg(\frac{2}{n}\ln(\ln(n!))\bigg).
Agora precisamos do limite (ou limsup) do expoente \dfrac{2}{n}\ln(\ln(n!)) quando n\to\infty.

Passo 4

Estimativa de \ln(\ln(n!)). Use uma desigualdade simples para controlar \ln(n!):
  • Para todo n\ge 1 vale n!\le n^{n}. Tomando logaritmo, \ln(n!)\le n\ln n.
    Logo
\ln(\ln(n!))\le \ln(n\ln n)=\ln n + \ln(\ln n).
Portanto, para n grande,
0\le \frac{2}{n}\ln(\ln(n!))\le \frac{2}{n}\big(\ln n + \ln(\ln n)\big).
Como \ln n = o(n) (quer dizer, \ln n / n \to 0), temos
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\big(\ln n + \ln(\ln n)\big)=0.
Pelo princípio da compressão (squeeze), deduzimos
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\ln(\ln(n!))=0.

Passo 5

Concluir o valor de \limsup e o raio. Como o expoente tende a 0,
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\ln(n!))^{2}}=\exp(0)=1.
Logo
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1,
e pelo Cauchy–Hadamard o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação prática: a série converge para |x+1|<1, isto é, no intervalo aberto (-2,0).

Passo 6

Checar os extremos do intervalo separadamente.
Teste em x=0: então x+1=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}(\ln(n!))^{2}.
Para que uma série de termos u_n convirja é necessário que u_n\to 0. Aqui u_n=(\ln(n!))^{2}\to\infty, portanto os termos não tendem a zero e a série diverge. Conclusão: diverge em x=0.

Passo 7

Teste em x=-2: então x+1=-1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}(\ln(n!))^{2}(-1)^{n}.
Mesmo sendo alternada, a condição necessária para convergência de uma série é que os termos absolutos tendam a zero. Aqui (\ln(n!))^{2}\to\infty, logo os termos não tendem a zero e a série diverge. Conclusão: diverge em x=-2.

Passo 8

Síntese final e incentivo: o raio é 1 e nem -2 nem 0 pertencem ao intervalo de convergência, então a série converge exatamente para -2<x<0. Vai dar certo na prova — foco nas estimativas de crescimento (usar n!\le n^n ou Stirling quando precisar de precisão) e no teste do termo geral para os extremos.

Resposta

R=1
(-2,0)

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