Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln (n!)){2}(x+1){n}
\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln (n!)){2}(x+1){n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de convergência e, em seguida, o intervalo de convergência da série de potências
Informações e perguntas claras:
- A série é uma série de potências centrada em
. - Os coeficientes da potência são
. - Precisamos encontrar o raio de convergência
. - Depois, devemos determinar o intervalo de
(centro ) onde a série converge, incluindo verificar os extremos e .
Passo 2
Como calcular o raio
: para uma série de potências
o raio de convergência é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard
Explicação didática:
mede a taxa de crescimento dos coeficientes. Se
tende a um número
, então a série converge para
e diverge para
. Aqui
e
, então precisamos calcular
.
Passo 3
Calcular
. Primeiro escrevemos de forma exponencial:
Agora precisamos do limite (ou limsup) do expoente
quando
.
Passo 4
Estimativa de
. Use uma desigualdade simples para controlar
:
- Para todo
vale . Tomando logaritmo, .
Logo
Portanto, para
grande,
Como
(quer dizer,
), temos
Pelo princípio da compressão (squeeze), deduzimos
Passo 5
Concluir o valor de
e o raio. Como o expoente tende a
,
Logo
e pelo Cauchy–Hadamard o raio de convergência é
Interpretação prática: a série converge para
, isto é, no intervalo aberto
.
Passo 6
Checar os extremos do intervalo separadamente.
Teste em
: então
e a série fica
Para que uma série de termos
convirja é necessário que
. Aqui
, portanto os termos não tendem a zero e a série diverge. Conclusão: diverge em
.
Passo 7
Teste em
: então
e a série fica
Mesmo sendo alternada, a condição necessária para convergência de uma série é que os termos absolutos tendam a zero. Aqui
, logo os termos não tendem a zero e a série diverge. Conclusão: diverge em
.
Passo 8
Síntese final e incentivo: o raio é
e nem
nem
pertencem ao intervalo de convergência, então a série converge exatamente para
. Vai dar certo na prova — foco nas estimativas de crescimento (usar
ou Stirling quando precisar de precisão) e no teste do termo geral para os extremos.