Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{3 n} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{3n} e (2) achar o intervalo de convergência (isto é, para quais x a série converge). As informações relevantes dadas são:
\text{a série } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{3n}.é
Foi indicado usar a fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}},
onde a_k são os coeficientes da série de potências escrita na forma \sum_{k=0}^\infty a_k x^k. Não vamos resolver nada neste passo, apenas listar o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a série na forma padrão \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k\). Observação: só aparecem potências de \(x\) do tipo \(x^{3n}\). Portanto os coeficientes \(a_k\) são \[a_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{n!}{n^{n}}, &\text{se } k=3n\text{ para algum }n\in\mathbb{N},\\[6pt] 0, &\text{se } k\not\equiv 0\pmod{3}. \end{cases}
Para aplicar a fórmula do raio usamos
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}.
Como muitos a_k\] são zero, a contribuição não nula vem da subsequência \(k=3n. Logo
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[3n]{\frac{n!}{n^{n}}} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(n!)^{1/n}}{n}\right)^{1/3},
desde que o limite da subsequência exista — vamos calcular esse limite.
(Explicação didática rápida sobre a passagem: \sqrt[3n]{\frac{n!}{n^n}}=\big((n!)^{1/n}/n\big)^{1/3}. A raiz 3n-ésima aplicada ao termo correspondente ao índice n transforma-se nessa expressão.)]

Passo 3

Agora precisamos avaliar
L := \lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^{1/n}}{n}.
Vou usar a fórmula assintótica de Stirling, que é uma ferramenta padrão para estimar n! quando n é grande. A forma mais usada é
n! \sim n^{n} e^{-n}\sqrt{2\pi n},
o que significa que o quociente entre n! e n^{n} e^{-n}\sqrt{2\pi n} tende a 1 quando n\to\infty. Aplicando a potência 1/n em ambos os lados obtemos
(n!)^{1/n} \sim n \, e^{-1} \, (2\pi n)^{1/(2n)}.
Como (2\pi n)^{1/(2n)} \to 1 quando n\to\infty, concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^{1/n}}{n} = e^{-1}.
Portanto
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|} = \left(e^{-1}\right)^{1/3} = e^{-1/3}.

Passo 4

Usando a fórmula do raio:
R = \frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}} = \frac{1}{e^{-1/3}} = e^{1/3}.
Então o raio de convergência é R=e^{1/3}. Isso significa que a série converge para todos x tais que |x|<e^{1/3} e diverge para |x|>e^{1/3}. Faltam verificar os pontos na fronteira |x|=e^{1/3}.

Passo 5

Verificação do extremo x = e^{1/3}. Substituindo na série:
\text{termo geral } t_n = \frac{n!}{n^{n}} \left(e^{1/3}\right)^{3n} = \frac{n!}{n^{n}} e^{n} = n!\left(\frac{e}{n}\right)^{n}.
Aplicando novamente Stirling para ver o comportamento de t_n quando n\to\infty:
n!\left(\frac{e}{n}\right)^{n} \sim \left(n^{n} e^{-n}\sqrt{2\pi n}\right)\left(\frac{e}{n}\right)^{n} = \sqrt{2\pi n}.
Assim t_n \sim \sqrt{2\pi n}\to\infty. Em particular os termos não tendem a zero, logo a série não pode convergir em x=e^{1/3}.
(Conceito usado: uma série só pode convergir se o termo geral tende a zero; se o termo geral não tende a zero, a série diverge.)

Passo 6

Verificação do extremo x = -\,e^{1/3}. Substituindo:
t_n = \frac{n!}{n^{n}} \left(-e^{1/3}\right)^{3n} = \frac{n!}{n^{n}} (-1)^{3n} e^{n} = (-1)^{n}\, n!\left(\frac{e}{n}\right)^{n}.
O módulo do termo é o mesmo do caso positivo, |t_n| = n!(e/n)^n \sim \sqrt{2\pi n}\to\infty. Assim os termos não tendem a zero em módulo, logo a série também diverge em x=-e^{1/3}.

Passo 7

Conclusão: o raio de convergência é R=e^{1/3}; a série converge estritamente para |x|<e^{1/3} e diverge para |x|\ge e^{1/3}. (Alternativa rápida de verificação: poderíamos também ter feito a substituição y=x^3 e aplicado o critério de raio em y: a série em y seria \sum \frac{n!}{n^n} y^n cujo raio em y é e, daí |x|^3<e\Rightarrow |x|<e^{1/3}.)

Resposta

R=e^{1/3}
\text{Intervalo de convergência: }(-e^{1/3},\,e^{1/3})ê

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