Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{3 n} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{3 n} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série
e (2) achar o intervalo de convergência (isto é, para quais
a série converge). As informações relevantes dadas são:
Foi indicado usar a fórmula
onde
são os coeficientes da série de potências escrita na forma
. Não vamos resolver nada neste passo, apenas listar o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a série na forma padrão
Para aplicar a fórmula do raio usamos
Como muitos
. Logo
desde que o limite da subsequência exista — vamos calcular esse limite.
(Explicação didática rápida sobre a passagem:
. A raiz
-ésima aplicada ao termo correspondente ao índice
transforma-se nessa expressão.)]
Passo 3
Agora precisamos avaliar
Vou usar a fórmula assintótica de Stirling, que é uma ferramenta padrão para estimar
quando
é grande. A forma mais usada é
o que significa que o quociente entre
e
tende a
quando
. Aplicando a potência
em ambos os lados obtemos
Como
quando
, concluímos que
Portanto
Passo 4
Usando a fórmula do raio:
Então o raio de convergência é
. Isso significa que a série converge para todos
tais que
e diverge para
. Faltam verificar os pontos na fronteira
.
Passo 5
Verificação do extremo
. Substituindo na série:
Aplicando novamente Stirling para ver o comportamento de
quando
:
Assim
. Em particular os termos não tendem a zero, logo a série não pode convergir em
.
(Conceito usado: uma série só pode convergir se o termo geral tende a zero; se o termo geral não tende a zero, a série diverge.)
Passo 6
Verificação do extremo
. Substituindo:
O módulo do termo é o mesmo do caso positivo,
. Assim os termos não tendem a zero em módulo, logo a série também diverge em
.
Passo 7
Conclusão: o raio de convergência é
; a série converge estritamente para
e diverge para
. (Alternativa rápida de verificação: poderíamos também ter feito a substituição
e aplicado o critério de raio em
: a série em
seria
cujo raio em
é
, daí
.)